Sean $a, b, c$ enteros. Demuestre que existen enteros $p_1, q_1, r_1, p_2, q_2, r_2$ tales que \[a = q_1r_2 - q_2r_1, b = r_1p_2 - r_2p_1, c = p_1q_2 - p_2q_1.\]

Sean $a, b, c$ números reales positivos y $p, q, r$ números complejos. Sea $S$ el conjunto de todas las soluciones $(x, y, z)$ en $\mathbb C$ del sistema de ecuaciones simultáneas \[ax + by + cz = p,\] \[ax2 + by2 + cz2 = q,\] \[ax3 + bx3 + cx3 = r.\] Demuestre que $S$ tiene a lo sumo seis elementos.

Sea $S_n = \{1, 2,\cdots, n\}$ y $f_n : S_n \to S_n$ se define inductivamente como sigue: $f_1(1) = 1, f_n(2j) = j \ (j = 1, 2, \cdots , [n/2])$ y (i) si $n = 2k \ (k \geq 1)$ , entonces $f_n(2j - 1) = f_k(j) + k \ (j = 1, 2, \cdots, k);$ (ii) si $n = 2k + 1 \ (k \geq 1)$ , entonces $f_n(2k + 1) = k + f_{k+1}(1), f_n(2j - 1) = k + f_{k+1}(j + 1) \ (j = 1, 2,\cdots , k).$ Demuestre que $f_n(x) = x$ si y solo si $x$ es un entero de la forma \[\frac{(2n + 1)(2^d - 1)}{2^{d+1} - 1}\] para algún entero positivo $d.$

Sea $ f(x) = x^8 + 4x^6 + 2x^4 + 28x^2 + 1.$ Sea $ p > 3$ un primo y suponga que existe un entero $ z$ tal que $ p$ divide a $ f(z).$ Demuestre que existen enteros $ z_1, z_2, \ldots, z_8$ tales que si \[ g(x) = (x - z_1)(x - z_2) \cdot \ldots \cdot (x - z_8),\] entonces todos los coeficientes de $ f(x) - g(x)$ son divisibles por $ p.$

Sea $P_n = (19 + 92)(19^2 +92^2) \cdots(19^n +92^n)$ para cada entero positivo $n$ . Determine, con prueba, el entero positivo más pequeño $m$ , si existe, para el cual $P_m$ es divisible por $33^{33}.$

Demuestre que en el plano existe un polígono convexo de 1992 lados que satisface las siguientes condiciones: (i) las longitudes de sus lados son $ 1, 2, 3, \ldots, 1992$ en algún orden; (ii) el polígono es circunscribible alrededor de un círculo. Formulación alternativa: ¿Existe un 1992-gono con longitudes de lado $ 1, 2, 3, \ldots, 1992$ circunscrito alrededor de un círculo? Responda la misma pregunta para un 1990-gono.

Dos círculos $ \Omega_{1}$ y $ \Omega_{2}$ son externamente tangentes entre sí en un punto $ I$ , y ambos círculos son tangentes a un tercer círculo $ \Omega$ que encierra los dos círculos $ \Omega_{1}$ y $ \Omega_{2}$ . La tangente común a los dos círculos $ \Omega_{1}$ y $ \Omega_{2}$ en el punto $ I$ se encuentra con el círculo $ \Omega$ en un punto $ A$ . Una tangente común a los círculos $ \Omega_{1}$ y $ \Omega_{2}$ que no pasa por $ I$ se encuentra con el círculo $ \Omega$ en los puntos $ B$ y $ C$ tales que los puntos $ A$ e $ I$ se encuentran en el mismo lado de la línea $ BC$ . Pruebe que el punto $ I$ es el incentro del triángulo $ ABC$ . Formulación alternativa. Dos círculos se tocan externamente en un punto $ I$ . Los dos círculos se encuentran dentro de un círculo grande y ambos lo tocan. La cuerda $ BC$ del círculo grande toca ambos círculos más pequeños (no en $ I$ ) . La tangente común a los dos círculos más pequeños en el punto $ I$ se encuentra con el círculo grande en un punto $ A$ , donde los puntos $ A$ e $ I$ están en el mismo lado de la cuerda $ BC$ . Demuestre que el punto $ I$ es el incentro del triángulo $ ABC$ .

Sea $ABC$ un triángulo escaleno arbitrario. Defina $\sum$ como el conjunto de todos los círculos $y$ que tienen las siguientes propiedades: (i) $y$ se encuentra con cada lado de $ABC$ en dos puntos (posiblemente coincidentes); (ii) si los puntos de intersección de $y$ con los lados del triángulo están etiquetados por $P, Q, R, S, T , U$ , con los puntos que ocurren en los lados en los órdenes $\mathcal B(B,P,Q,C), \mathcal B(C, R, S,A), \mathcal B(A, T,U,B)$ , entonces las siguientes relaciones de paralelismo son válidas: $TS \parallel BC; PU\parallel CA; RQ\parallel AB$ . (En los casos límite, algunas de las condiciones de paralelismo se mantendrán vacías; por ejemplo, si $A$ se encuentra en el círculo $y$ , entonces $T$ , $S$ ambos coinciden con $A$ y la relación $TS \parallel BC$ se mantiene vacía.) (a) ¿En qué circunstancias $\sum$ es no vacío? (b) Suponiendo que Σ es no vacío, muestre cómo construir el lugar geométrico de los centros de los círculos en el conjunto $\sum$ . (c) Dado que el conjunto $\sum$ tiene solo un elemento, deduzca el tamaño del ángulo más grande de $ABC.$ (d) Muestre cómo construir los círculos en $\sum$ que tienen, respectivamente, los radios más grandes y más pequeños.

Sea $\,{\mathbb{R}}\, $ el conjunto de todos los números reales. Encuentre todas las funciones $\,f: {\mathbb{R}}\rightarrow {\mathbb{R}}\, $ tales que \[ f\left( x^{2}+f(y)\right) =y+\left( f(x)\right) ^{2}\hspace{0.2in}\text{para todos}\,x,y\in \mathbb{R}. \]

(a) Demostrar que el conjunto $\mathbb N$ de todos los enteros positivos se puede dividir en tres subconjuntos disjuntos $A, B$ , y $C$ que satisfacen las siguientes condiciones:\n$A^2 = A, B^2 = C, C^2 = B,$\n$AB = B, AC = C, BC = A,$\ndonde $HK$ representa $\{hk | h \in H, k \in K\}$ para cualesquiera dos subconjuntos $H, K$ de $\mathbb N$ , y $H^2$ denota $HH.$\n(b) Demostrar que para cada partición de $\mathbb N$ , $\min\{n \in N | n \in A \text{ y } n + 1 \in A\}$ es menor o igual a $77.$