Prueba que $\frac{5^{125}-1}{5^{25}-1}$ es un número compuesto.

Encuentra el número de enteros positivos $n$ que satisfacen $\phi(n) | n$ tal que \n\[\sum_{m=1}^{\infty} \left( \left[ \frac nm \right] - \left[\frac{n-1}{m} \right] \right) = 1992\]\n¿Cuál es el número más grande entre ellos? Como es usual, $\phi(n)$ es el número de enteros positivos menores o iguales que $n$ y relativamente primos con $n.$

En un triángulo $ ABC,$ sean $ D$ y $ E$ las intersecciones de las bisectrices de $ \angle ABC$ y $ \angle ACB$ con los lados $ AC,AB,$ respectivamente. Determine los ángulos $ \angle A,\angle B, \angle C$ si $ \angle BDE = 24 ^{\circ},$ $ \angle CED = 18 ^{\circ}.$

Sea $S$ un conjunto de enteros positivos $n_1, n_2, \cdots, n_6$ y sea $n(f)$ denota el número $n_1n_{f(1)} +n_2n_{f(2)} +\cdots+n_6n_{f(6)}$ , donde $f$ es una permutación de $\{1, 2, . . . , 6\}$ . Sea \n\[\Omega=\{n(f) | f \text{ es una permutación de } \{1, 2, . . . , 6\} \} \]\nDa un ejemplo de enteros positivos $n_1, \cdots, n_6$ tal que $\Omega$ contenga tantos elementos como sea posible y determina el número de elementos de $\Omega$ .

Los colonizadores de un planeta esférico han decidido construir $N$ ciudades, cada una con un área de $1/1000$ del área total del planeta. También decidieron que dos puntos cualesquiera pertenecientes a diferentes ciudades tendrán diferente latitud y diferente longitud. ¿Cuál es el valor máximo de $N$ ?

Sea $n \geq 2$ un entero. Encuentra el mínimo $k$ para el cual existe una partición de $\{1, 2, . . . , k\}$ en $n$ subconjuntos $X_1,X_2, \cdots , X_n$ tal que se cumpla la siguiente condición: para cualquier $i, j, 1 \leq i < j \leq n$ , existen $x_i \in X_1, x_j \in X_2$ tal que $|x_i - x_j | = 1.$

Sea $\,S\,$ un conjunto finito de puntos en el espacio tridimensional. Sean $\,S_{x},\,S_{y},\,S_{z}\,$, los conjuntos que consisten en las proyecciones ortogonales de los puntos de $\,S\,$ sobre el plano $yz$, el plano $zx$, el plano $xy$, respectivamente. Demuestra que \[ \vert S\vert^{2}\leq \vert S_{x} \vert \cdot \vert S_{y} \vert \cdot \vert S_{z} \vert, \] donde $\vert A \vert$ denota el número de elementos en el conjunto finito $A$. Nota: La proyección ortogonal de un punto sobre un plano es el pie de la perpendicular desde ese punto al plano.

Sean los círculos $C_1, C_2$ y $C_3$ ortogonales al círculo $C$ e intersecándose entre sí dentro de $C$ formando ángulos agudos de medidas $A, B$ y $C$. Demuestra que $A + B + C < \pi.$

Encuentra todas las soluciones racionales de \[a^2 + c^2 + 17(b^2 + d^2) = 21,\] \[ab + cd = 2.\]

Sea $ f(x)$ un polinomio con coeficientes racionales y $ \alpha$ un número real tal que \[ \alpha^3 - \alpha = [f(\alpha)]^3 - f(\alpha) = 33^{1992}.\] Demuestre que para cada $ n \geq 1,$ \[ \left [ f^{n}(\alpha) \right]^3 - f^{n}(\alpha) = 33^{1992},\] donde $ f^{n}(x) = f(f(\cdots f(x))),$ y $ n$ es un entero positivo.