Suponga que $n > m \geq 1$ son enteros tales que la cadena de dígitos $143$ aparece en alguna parte de la representación decimal de la fracción $\frac{m}{n}$ . Pruebe que $n > 125.$

Encuentra todos los enteros $\,a,b,c\,$ con $\,1<a<b<c\,$ tales que \[ (a-1)(b-1)(c-1) \] es un divisor de $abc-1.$

Sea $n$ un entero $> 1$ . En una disposición circular de $n$ lámparas $L_0, \cdots, L_{n-1}$ , cada una de las cuales puede estar ENCENDIDA o APAGADA, comenzamos con la situación en que todas las lámparas están ENCENDIDAS, y luego llevamos a cabo una secuencia de pasos, $Step_0, Step_1, \cdots$ . Si $L_{j-1}$ ( $j$ se toma mod n) está ENCENDIDA, entonces $Step_j$ cambia el estado de $L_j$ (pasa de ENCENDIDA a APAGADA o de APAGADA a ENCENDIDA) pero no cambia el estado de ninguna de las otras lámparas. Si $L_{j-1}$ está APAGADA, entonces $Step_j$ no cambia nada en absoluto. Demuestre que: (a) Existe un entero positivo $M(n)$ tal que después de $M(n)$ pasos todas las lámparas están ENCENDIDAS nuevamente. (b) Si $n$ tiene la forma $2^k$ , entonces todas las lámparas están ENCENDIDAS después de $n^2 - 1$ pasos. (c) Si $n$ tiene la forma $2^k +1$ , entonces todas las lámparas están ENCENDIDAS después de $n^2 -n+1$ pasos.

Sean $ f, g$ y $ a$ polinomios con coeficientes reales, $ f$ y $ g$ en una variable y $ a$ en dos variables. Suponga que \[ f(x) - f(y) = a(x, y)(g(x) - g(y)) \forall x,y \in \mathbb{R}\] Pruebe que existe un polinomio $ h$ con $ f(x) = h(g(x)) \text{ } \forall x \in \mathbb{R}.$

Sea $N$ un punto dentro del triángulo $ABC$ . A través de los puntos medios de los segmentos $AN, BN$ , y $CN$ se construyen las líneas paralelas a los lados opuestos de $\triangle ABC$ . Sean $AN, BN$ , y $CN$ los puntos de intersección de estas líneas. Si $N$ es el ortocentro del triángulo $ABC$ , demostrar que los círculos de nueve puntos de $\triangle ABC$ y $\triangle A_NB_NC_N$ coinciden. Nota. La declaración del problema original era que los círculos de nueve puntos de los triángulos $A_NB_NC_N$ y $A_MB_MC_M$ coinciden, donde $N$ y $M$ son el ortocentro y el centroide de $ABC$ . Esta declaración es falsa.

Dados los números reales $x_i \ (i = 1, 2, \cdots, 4k + 2)$ tales que \[\sum_{i=1}^{4k +2} (-1)^{i+1} x_ix_{i+1} = 4m \qquad ( \ x_1=x_{4k+3} \ )\] demostrar que es posible elegir números $x_{k_{1}}, \cdots, x_{k_{6}}$ tales que \[\sum_{i=1}^{6} (-1)^{i} k_i k_{i+1} > m \qquad ( \ x_{k_{1}} = x_{k_{7}} \ )\]

Encontrar todas las funciones $f : \mathbb R^+ \to \mathbb R$ que satisfacen la identidad \[f(x)f(y)=y^{\alpha}f\left(\frac x2 \right) + x^{\beta} f\left(\frac y2 \right) \qquad \forall x,y \in \mathbb R^+\] Donde $\alpha,\beta$ son números reales dados.

Evaluar \[\left \lfloor \prod_{n=1}^{1992} \frac{3n+2}{3n+1} \right \rfloor\]

Demostrar que la secuencia $5, 12, 19, 26, 33,\cdots $ no contiene ningún término de la forma $2^n -1.$

Sea $n$ un entero positivo. Prueba que el número de maneras de expresar $n$ como una suma de enteros positivos distintos (hasta el orden) y el número de maneras de expresar $n$ como una suma de enteros positivos impares (hasta el orden) son los mismos.