Si $A, B, C$ , y $D$ son cuatro puntos distintos en el espacio, demuestre que existe un plano $P$ en el que las proyecciones ortogonales de $A, B, C$ , y $D$ forman un paralelogramo (posiblemente degenerado).

Para cualquier entero positivo $n$ considere todas las representaciones $n = a_1 + \cdots+ a_k$ , donde $a_1 > a_2 > \cdots > a_k > 0$ son enteros tales que para todo $i \in \{1, 2, \cdots , k - 1\}$ , el número $a_i$ es divisible por $a_{i+1}$ . Encuentra la representación más larga de este tipo del número $1992.$

Sean $a$ y $b$ enteros. Demostrar que $\frac{2a^2-1}{b^2+2}$ no es un entero.

Sean $c_1, \cdots, c_n \ (n \geq 2)$ números reales tales que $0 \leq \sum c_i \leq n$. Demostrar que existen enteros $k_1, \cdots , k_n$ tales que $\sum k_i=0$ y $1-n \leq c_i + nk_i \leq n$ para todo $i = 1, \cdots , n.$

Hay un tablero con $2n \cdot 2n \ (= 4n^2)$ cuadrados y $4n^2-1$ cartas numeradas con diferentes números naturales. Estas cartas se colocan una por una en cada uno de los cuadrados. Un cuadrado está vacío. Podemos mover una carta a un cuadrado vacío desde uno de los cuadrados adyacentes (dos cuadrados son adyacentes si tienen un borde común). ¿Es posible intercambiar dos cartas en dos cuadrados adyacentes de una columna (o una fila) en un número finito de movimientos?

¿Existe un conjunto $ M$ con las siguientes propiedades? (i) El conjunto $ M$ consta de 1992 números naturales. (ii) Cada elemento en $ M$ y la suma de cualquier número de elementos tienen la forma $ m^k$ $ (m, k \in \mathbb{N}, k \geq 2).$

Sea un $7$ - gono regular $A_0A_1A_2A_3A_4A_5A_6$ inscrito en un círculo. Demuestre que para cualesquiera dos puntos $P, Q$ en el arco $A_0A_6$ la siguiente igualdad se cumple: \[\sum_{i=0}^6 (-1)^{i} PA_i = \sum_{i=0}^6 (-1)^{i} QA_i .\]

Para números positivos $a, b, c$ defina $A = \frac{(a + b + c)}{3}$ , $G = \sqrt[3]{abc}$ , $H = \frac{3}{(a^{-1} + b^{-1} + c^{-1})}.$ Pruebe que \[ \left( \frac AG \right)^3 \geq \frac 14 + \frac 34 \cdot \frac AH.\]

Un grafo dirigido (cualesquiera dos vértices distintos unidos por como máximo una línea dirigida) tiene la siguiente propiedad: Si $x, u,$ y $v$ son tres vértices distintos tales que $x \to u$ y $x \to v$ , entonces $u \to w$ y $v \to w$ para algún vértice $w$ . Suponga que $x \to u \to y \to\cdots \to z$ es un camino de longitud $n$ , que no puede extenderse a la derecha (ninguna flecha sale de $z$ ). Demuestre que todo camino que comienza en $x$ llega después de $n$ pasos a $z.$

Para cualquier entero positivo $ x$ defina $ g(x)$ como el mayor divisor impar de $ x,$ y \[ f(x) = \begin{cases} \frac {x}{2} + \frac {x}{g(x)} & \text{si \(x\) es par}, \\ 2^{\frac {x + 1}{2}} & \text{si \(x\) es impar}. \end{cases} \] Construya la secuencia $ x_1 = 1, x_{n + 1} = f(x_n).$ Demuestre que el número 1992 aparece en esta secuencia, determine el menor $ n$ tal que $ x_n = 1992,$ y determine si $ n$ es único.