Dado un grafo con $n$ vértices y un entero positivo $m$ que es menor que $ n$ , demuestre que el grafo contiene un conjunto de $m+1$ vértices en el que la diferencia entre el grado más grande de cualquier vértice en el conjunto y el grado más pequeño de cualquier vértice en el conjunto es a lo sumo $m-1.$

Sea $ \lfloor x \rfloor$ denota el mayor entero menor o igual que $ x.$ Escoja cualquier $ x_1$ en $ [0, 1)$ y defina la secuencia $ x_1, x_2, x_3, \ldots$ por $ x_{n+1} = 0$ si $ x_n = 0$ y $ x_{n+1} = \frac{1}{x_n} - \left \lfloor \frac{1}{x_n} \right \rfloor$ de lo contrario. Demuestre que \[ x_1 + x_2 + \ldots + x_n < \frac{F_1}{F_2} + \frac{F_2}{F_3} + \ldots + \frac{F_n}{F_{n+1}},\] donde $ F_1 = F_2 = 1$ y $ F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ para $ n \geq 1.$

Sea $F_n$ el n-ésimo número de Fibonacci, definido por $F_1 = F_2 = 1$ y $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ para $n > 2$ . Sea $A_0, A_1, A_2,\cdots$ una secuencia de puntos en un círculo de radio $1$ tal que el arco menor de $A_{k-1}$ a $A_k$ corre en el sentido de las agujas del reloj y tal que \[\mu(A_{k-1}A_k)=\frac{4F_{2k+1}}{F_{2k+1}^2+1}\] para $k \geq 1$ , donde $\mu(XY )$ denota la medida en radianes del arco $XY$ en el sentido de las agujas del reloj. ¿Cuál es el límite de la medida en radianes del arco $A_0A_n$ cuando $n$ se acerca al infinito?

Demostrar que si se eligen $994$ enteros de $1, 2,\cdots , 1992$ y uno de los enteros elegidos es menor que $64$ , entonces existen dos entre los enteros elegidos tal que uno de ellos es un factor del otro.

Sean $P_1(x, y)$ y $P_2(x, y)$ dos polinomios relativamente primos con coeficientes complejos. Sean $Q(x, y)$ y $R(x, y)$ polinomios con coeficientes complejos y cada uno de grado no superior a $d$ . Demuestre que existen dos enteros $A_1, A_2$ no simultáneamente cero con $|A_i| \leq d + 1 \ (i = 1, 2)$ y tales que el polinomio $A_1P_1(x, y) + A_2P_2(x, y)$ es coprimo con $Q(x, y)$ y $R(x, y).$

Sean dos círculos $A$ y $B$ con radios desiguales $r$ y $R$ , respectivamente, tangentes internamente en el punto $A_0$ . Si existe una secuencia de círculos distintos $(C_n)$ tales que cada círculo es tangente tanto a $A$ como a $B$ , y cada círculo $C_{n+1}$ toca el círculo $C_{n}$ en el punto $A_n$ , demuestre que \[\sum_{n=1}^{\infty} |A_{n+1}A_n| < \frac{4 \pi Rr}{R+r}.\]

Sea $ \alpha(n)$ el número de dígitos iguales a uno en la representación binaria de un entero positivo $ n.$ Demuestre que: \n(a) la desigualdad $ \alpha(n) (n^2 ) \leq \frac{1}{2} \alpha(n)(\alpha(n) + 1)$ se cumple; \n(b) la desigualdad anterior es una igualdad para infinitos enteros positivos, y \n(c) existe una secuencia $ (n_i )^{\infty}_1$ tal que $ \frac{\alpha ( n^2_i )}{\alpha (n_i }$ tiende a cero cuando $ i$ tiende a $ \infty.$ \nProblema alternativo: Demuestre que existe una secuencia una secuencia $ (n_i )^{\infty}_1$ tal que $ \frac{\alpha ( n^2_i )}{\alpha (n_i )}$ \n(d) $ \infty;$ \n(e) un número real arbitrario $ \gamma \in (0,1)$ ; \n(f) un número real arbitrario $ \gamma \geq 0$ ; cuando $ i$ tiende a $ \infty.$

Demuestre que los números $\tan \left(\frac{r \pi }{15}\right)$ , donde $r$ es un entero positivo menor que $15$ y relativamente primo con $15$ , satisfacen \[x^8 - 92x^6 + 134x^4 - 28x^2 + 1 = 0.\]

En un triángulo, una simediana es una línea que pasa por un vértice que es simétrica a la mediana con respecto a la bisectriz interna (todo en relación con el mismo vértice). En el triángulo $ABC$ , la mediana $m_a$ se encuentra con $BC$ en $A'$ y la circunferencia circunscrita nuevamente en $A_1$ . La simediana $s_a$ se encuentra con $BC$ en $M$ y la circunferencia circunscrita nuevamente en $A_2$ . Dado que la línea $A_1A_2$ contiene el circuncentro $O$ del triángulo, demuestre que: \n(a) $\frac{AA'}{AM} = \frac{b^2+c^2}{2bc} ;$ \n(b) $1+4b^2c^2 = a^2(b^2+c^2)$

Una circunferencia de radio $\rho$ es tangente a los lados $AB$ y $AC$ del triángulo $ABC$ , y su centro $K$ está a una distancia $p$ de $BC$ . (a) Demostrar que $a(p - \rho) = 2s(r - \rho)$ , donde $r$ es el inradio y $2s$ el perímetro de $ABC$ . (b) Demostrar que si la circunferencia intersecta a $BC$ en $D$ y $E$ , entonces \[DE=\frac{4\sqrt{rr_1(\rho-r)(r_1-\rho)}}{r_1-r}\] donde $r_1$ es el exradio correspondiente al vértice $A.$