Encuentre todos los enteros positivos $(r,s)$ tales que exista una secuencia no constante $a_n$ de enteros positivos tal que para todo $n=1,2,\dots$ \[ a_{n+2}= \left(1+\frac{{a_2}^r}{{a_1}^s} \right ) \left(1+\frac{{a_3}^r}{{a_2}^s} \right ) \dots \left(1+\frac{{a_{n+1}}^r}{{a_n}^s} \right ).\]

Sea $ABC$ un triángulo con $AB<AC$ y incentro $I.$ Un punto $D$ se encuentra en el segmento $AC$ tal que $AB=AD,$ y la línea $BI$ interseca a $AC$ en $E.$ Suponga que la línea $CI$ interseca a $BD$ en $F,$ y $G$ se encuentra en el segmento $DI$ tal que $FD=FG.$ Demuestre que las líneas $AG$ y $EF$ se intersecan en la circunferencia circunscrita del triángulo $CEI.$

Un collar contiene 2024 perlas, cada una de ellas con uno de los siguientes colores: negro, verde y amarillo. En cada momento, cambiaremos cada una de las perlas simultáneamente a una nueva siguiendo las siguientes reglas: i) Si sus dos vecinos son del mismo color, entonces se cambiará a ese mismo color. ii) Si sus dos vecinos son de diferentes colores, entonces se cambiará al tercer color. a) Existe algún collar que pueda transformarse en un collar que conste únicamente de perlas amarillas si inicialmente la mitad de las perlas son negras y la otra mitad son verdes? b) Existe un collar que pueda transformarse en un collar que conste únicamente de perlas amarillas si inicialmente 998 perlas son negras y las restantes 1026 perlas son verdes?

Dos circunferencias de radio $R_1$ y $R_2$ son tangentes externamente entre sí. Además, ambas son tangentes a una semicircunferencia con radio de 1, como se muestra en la figura. a) Si $A_1$ y $A_2$ son los puntos de tangencia de las dos circunferencias con el diámetro de la semicircunferencia, encuentre la longitud de $\overline{A_1 A_2}$ . b) Demuestre que $R_{1}+R_{2}=2\sqrt{R_{1}R_{2}}(\sqrt{2}-\sqrt{R_{1}R_{2}})$ .

Cuántas soluciones enteras existen que satisfacen esta ecuación? $$x+4y-343\sqrt{x}-686\sqrt{y}+4\sqrt{xy}+2022=0$$

Los enteros positivos $x$ e $y$ son tales que $x^{2022}+x+y^2$ es divisible por $xy$ . a) Dé un ejemplo de tales enteros $x$ e $y$ , con $x>y$ . b) Demuestre que $x$ es un cuadrado perfecto.

Anselmo y Claudio están jugando alternativamente un juego con frutas en una caja. La caja inicialmente tiene $32$ frutas. Anselmo juega primero y cada turno consiste en quitar $1$ , $2$ o $3$ frutas de la caja o quitar $\frac{2}{3}$ de las frutas de la caja (esto sólo es posible cuando el número de frutas que quedan en la caja es múltiplo de $3$ ) . El jugador que quita la última fruta de la caja gana. ¿Cuál de estos dos jugadores tiene una estrategia ganadora? ¿Cómo debe jugar ese jugador para ganar?

Cuántas ternas $(a,b,c)$ con $a,b,c \in \mathbb{R}$ satisfacen el siguiente sistema? $$\begin{cases} a^4-b^4=c \ b^4-c^4=a \ c^4-a^4=b \end{cases}$$

Sean $f(x) = x^m + a_1x^{m-1} + \cdots+ a_{m-1}x + a_m$ y $g(x) = x^n + b_1x^{n-1} + \cdots + b_{n-1}x + b_n$ dos polinomios con coeficientes reales tales que para cada número real $x, f(x)$ es el cuadrado de un entero si y solo si lo es $g(x)$. Demuestre que si $n +m > 0$, entonces existe un polinomio $h(x)$ con coeficientes reales tal que $f(x) \cdot g(x) = (h(x))^2.$

Suponga que los puntos $X, Y,Z$ están ubicados en los lados $BC, CA$ , y $AB$ , respectivamente, del triángulo $ABC$ de tal manera que el triángulo $XY Z$ sea similar al triángulo $ABC$ . Demuestre que el ortocentro del triángulo $XY Z$ es el circuncentro del triángulo $ABC.$