Sean $a,b,c$ números reales positivos tales que $abc=1$. Demuestra que $$\frac{a+b+c+3}{4}\geqslant \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}.$$

$A = \{a, b, c\}$ es un conjunto que contiene tres enteros positivos. Demuestra que podemos encontrar un conjunto $B \subset A$ , $B = \{x, y\}$ tal que para todos los enteros positivos impares $m, n$ tenemos $$10\mid x^my^n-x^ny^m.$$

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Sean $B' , A'$ puntos en las mediatrices de $AC, BC$ respectivamente tales que $B'A \perp AB$ y $A'B \perp AB$. Sea $P$ un punto en el segmento $AB$ y $O$ el circuncentro del triángulo $ABC$. Sean $D, E$ puntos en $BC, AC$ respectivamente tales que $DP \perp BO$ y $EP \perp AO$. Sea $O'$ el circuncentro del triángulo $CDE$. Demuestra que $B', A'$ y $O'$ son colineales.

Sea $d(n)$ denote el número de divisores positivos de $n$. Para un entero positivo $n$ definimos $f(n)$ como $$f(n) = d\left(k_1\right) + d\left(k_2\right)+ \cdots + d\left(k_m\right),$$ donde $1 = k_1 < k_2 < \cdots < k_m = n$ son todos los divisores del número $n$. Llamamos a un entero $n > 1$ casi perfecto si $f(n) = n$. Encuentra todos los números casi perfectos.

Sean $m, n, p$ números reales positivos fijos que satisfacen $mnp = 8$. Dependiendo de estas constantes, encuentre el mínimo de $$x^2+y^2+z^2+ mxy + nxz + pyz,$$ donde $x, y, z$ son números reales positivos arbitrarios que satisfacen $xyz = 8$. ¿Cuándo se alcanza la igualdad? Resuelva el problema para: $m = n = p = 2,$ números reales positivos arbitrarios (pero fijos) $m, n, p.$

Se nos da un tablero de $n \times n$. Las filas están etiquetadas con los números del $1$ al $n$ hacia abajo y las columnas están etiquetadas con los números del $1$ al $n$ de izquierda a derecha. En cada campo escribimos el número $x^2 + y^2$ donde $(x, y)$ son sus coordenadas. Se nos da una figura y podemos colocarla inicialmente en cualquier campo. En cada paso podemos mover la figura de un campo a otro si el otro campo no ha sido visitado y si al menos una de las siguientes condiciones se cumple: los números en esos $2$ campos dan los mismos restos cuando se dividen por $n$, esos campos son simétricos con respecto al centro del tablero. ¿Se pueden visitar todos los campos en el caso: $n = 4$, $n = 5$?

Llamamos a un entero positivo $n\ge 4$ hermoso si existe alguna permutación $$\{x_1,x_2,\dots ,x_{n-1}\}$$ de $\{1,2,\dots ,n-1\}$ tal que $\{x^1_1,\ x^2_2,\ \dots,x^{n-1}_{n-1}\}$ da todos los residuos $\{1,2,\dots, n-1\}$ módulo $n$ . Demuestre que si $n$ es hermoso entonces $n=2p,$ para algún número primo $p.$

Encuentre todas las funciones $f: \mathbb{Z^+} \to \mathbb{Z^+}$ tales que para todos los enteros $a, b, c$ tenemos $$ af(bc)+bf(ac)+cf(ab)=(a+b+c)f(ab+bc+ac).$$ Nota. El conjunto $\mathbb{Z^+}$ se refiere al conjunto de enteros positivos.

Dados enteros positivos $a,b,$ encuentre el entero positivo más pequeño $m$ tal que entre cualquier $m$ enteros distintos en el intervalo $[-a,b]$ haya tres números distintos por pares que su suma sea cero.

$Abdulqodir$ recortó $2024$ $n-$ g ons regulares congruentes de una hoja de papel y colocó estos $n-$ g ons sobre la mesa de tal manera que algunas partes de cada uno de estos $n-$ g ons pueden estar cubiertas por otros. Decimos que un vértice de uno de los $n-$ g ons antes mencionados es $visible$ si no está en el interior de otro $n-$ g on que se coloca encima. Para cualquier $n>2$ determine el mínimo número posible de vértices visibles.