Arnaldo selecciona un entero no negativo $a$ y Bernaldo selecciona un entero no negativo $b$. Ambos le dicen secretamente su número a Cernaldo, quien escribe los números $5$, $8$ y $15$ en la pizarra, siendo uno de ellos la suma $a+b$. Cernaldo toca una campana y Arnaldo y Bernaldo, individualmente, escriben en diferentes hojas de papel si saben o no cuál de los números en la pizarra es la suma $a+b$ y se las entregan a Cernaldo. Si ambos papeles dicen NO, Cernaldo toca la campana de nuevo y el proceso se repite. Se sabe que tanto Arnaldo como Bernaldo son honestos e inteligentes. ¿Cuál es el número máximo de veces que la campana puede ser tocada hasta que uno de ellos sepa la suma?

Sea $n$ un entero positivo. Llamamos $C_n$ al número de enteros positivos $x$ menores que $10^n$ tales que la suma de los dígitos de $2x$ es menor que la suma de los dígitos de $x$. Demuestra que $C_n\geq\frac{4}{9}(10^{n}-1)$.

Dado un círculo $C$ y un punto $P$ en su exterior, se dibujan dos tangentes al círculo que pasan por $P$, siendo $A$ y $B$ los puntos de tangencia. Tomamos un punto $Q$ en el arco menor $AB$ de $C$. Sea $M$ la intersección de $AQ$ con la línea perpendicular a $AQ$ que pasa por $P$, y sea $N$ la intersección de $BQ$ con la línea perpendicular a $BQ$ que pasa por $P$. Demuestra que, al variar $Q$ en el arco menor $AB$, todas las líneas $MN$ pasan por el mismo punto.

Maxi eligió $3$ dígitos, y al escribir todas las permutaciones posibles de estos dígitos, obtuvo $6$ números distintos de $3$ dígitos. Si exactamente uno de esos números es un cuadrado perfecto y exactamente tres de ellos son primos, encuentra los $3$ dígitos de Maxi. Da todas las posibilidades para los $3$ dígitos.

Para un conjunto finito $ X$ de enteros positivos, sea $ \Sigma(X) = \sum_{x \in X} \arctan \frac{1}{x}.$ Dado un conjunto finito $ S$ de enteros positivos para el cual $ \Sigma(S) < \frac{\pi}{2},$ demuestra que existe al menos un conjunto finito $ T$ de enteros positivos para el cual $ S \subset T$ y $ \Sigma(S) = \frac{\pi}{2}.$

Dados cuatro puntos $ A_1, A_2, A_3, A_4$ en el plano, no tres colineales, tal que \[ A_1A_2 \cdot A_3 A_4 = A_1 A_3 \cdot A_2 A_4 = A_1 A_4 \cdot A_2 A_3, \] denotar por $ O_i$ el circuncentro de $ \triangle A_j A_k A_l$ con $ \{i,j,k,l\} = \{1,2,3,4\}.$ Asumiendo $ \forall i A_i \neq O_i ,$ demuestra que las cuatro líneas $ A_iO_i$ son concurrentes o paralelas.

Un conjunto $ S$ de puntos en el espacio satisface la propiedad de que todas las distancias por pares entre puntos en $ S$ son distintas. Dado que todos los puntos en $ S$ tienen coordenadas enteras $ (x,y,z)$ donde $ 1 \leq x,y, z \leq n,$ demuestra que el número de puntos en $ S$ es menor que $ \min \Big((n + 2)\sqrt {\frac {n}{3}}, n \sqrt {6}\Big).$

Para $ a_i \in \mathbb{Z}^ +$ , $ i = 1, \ldots, k$ , y $ n = \sum^k_{i = 1} a_i$ , sea $ d = \gcd(a_1, \ldots, a_k)$ denotar el máximo común divisor de $ a_1, \ldots, a_k$ . Demuestra que $ \frac {d} {n} \cdot \frac {n!}{\prod\limits^k_{i = 1} (a_i!)}$ es un entero.

Un grupo de matemáticos asiste a una conferencia. Decimos que un matemático está $k-$contento si está en una sala con al menos $k$ personas que admira o si es admirado por al menos $k$ otras personas en la sala. Se sabe que cuando todos los participantes están en la misma sala, entonces todos están al menos $3k + 1$ - contentos. Demuestra que puedes asignar a todos a una de $2$ salas de manera que todos estén al menos $k$ - contentos en su sala y ninguna de las salas esté vacía. La admiración no es necesariamente mutua y nadie se admira a sí mismo.

Los círculos $k_1$ y $k_2$ se intersecan en los puntos $A$ y $B$, tales que $k_1$ pasa por el centro $O$ del círculo $k_2$. La línea $p$ interseca a $k_1$ en los puntos $K$ y $O$ y a $k_2$ en los puntos $L$ y $M$, tal que el punto $L$ está entre $K$ y $O$. El punto $P$ es la proyección ortogonal del punto $L$ a la línea $AB$. Demuestra que la línea $KP$ es paralela a la $M-$mediana del triángulo $ABM$.