En el plano se dan dos circunferencias que se intersecan en $ X$ e $ Y$ . Demuestre que existen cuatro puntos con la siguiente propiedad: (P) Para cada circunferencia que toca las dos circunferencias dadas en $ A$ y $ B$ , y se encuentra con la línea $ XY$ en $ C$ y $ D$ , cada una de las líneas $ AC$ , $ AD$ , $ BC$ , $ BD$ pasa por uno de estos puntos.

Para un polinomio $ P$ de grado 2000 con coeficientes reales distintos, sea $ M(P)$ el conjunto de todos los polinomios que pueden ser producidos a partir de $ P$ por permutación de sus coeficientes. Un polinomio $ P$ se llamará $ n$ - independiente si $ P(n) = 0$ y podemos obtener de cualquier $ Q \in M(P)$ un polinomio $ Q_1$ tal que $ Q_1(n) = 0$ intercambiando a lo sumo un par de coeficientes de $ Q.$ Encuentre todos los enteros $ n$ para los cuales existen polinomios $ n$ - independientes.

Un conjunto no vacío $ A$ de números reales se llama un conjunto $ B_3$ si las condiciones $ a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6 \in A$ y $ a_1 + a_2 + a_3 = a_4 + a_5 + a_6$ implican que las sucesiones $ (a_1, a_2, a_3)$ y $ (a_4, a_5, a_6)$ son idénticas salvo una permutación. Sean $A = \{a_0 = 0 < a_1 < a_2 < \cdots \}$ , $B = \{b_0 = 0 < b_1 < b_2 < \cdots \}$ sucesiones infinitas de números reales con $ D(A) = D(B),$ donde, para un conjunto $ X$ de números reales, $ D(X)$ denota el conjunto diferencia $ \{|x-y|\mid x, y \in X \}.$ Demuestre que si $ A$ es un conjunto $ B_3$ , entonces $ A = B.$

Sea $ n \geq 2$ un entero positivo y $ \lambda$ un número real positivo. Inicialmente hay $ n$ pulgas en una línea horizontal, no todas en el mismo punto. Definimos un movimiento como elegir dos pulgas en algunos puntos $ A$ y $ B$ , con $ A$ a la izquierda de $ B$ , y dejar que la pulga de $ A$ salte sobre la pulga de $ B$ al punto $ C$ de modo que $ \frac {BC}{AB} = \lambda$ . Determine todos los valores de $ \lambda$ tales que, para cualquier punto $ M$ en la línea y para cualquier posición inicial de las $ n$ pulgas, existe una secuencia de movimientos que las lleve a la posición a la derecha de $ M$ .

Sean $ n$ y $ k$ enteros positivos tales que $ \frac{1}{2} n < k \leq \frac{2}{3} n.$ Hallar el menor número $ m$ para el cual es posible colocar $ m$ peones en $ m$ casillas de un tablero de ajedrez de $ n \times n$ de manera que ninguna columna o fila contenga un bloque de $ k$ casillas adyacentes desocupadas.

Sea $ n \geq 4$ un entero positivo fijo. Dado un conjunto $ S = \{P_1, P_2, \ldots, P_n\}$ de $ n$ puntos en el plano tales que no hay tres colineales y no hay cuatro concíclicos, sea $ a_t,$ $ 1 \leq t \leq n,$ el número de círculos $ P_iP_jP_k$ que contienen a $ P_t$ en su interior, y sea \[m(S)=a_1+a_2+\cdots + a_n.\] Demostrar que existe un entero positivo $ f(n),$ que depende sólo de $ n,$ tal que los puntos de $ S$ son los vértices de un polígono convexo si y sólo si $ m(S) = f(n).$

Una escalera de ladrillo con 3 escalones de ancho 2 está hecha de 12 cubos unitarios. Determinar todos los enteros $ n$ para los cuales es posible construir un cubo de lado $ n$ usando tales ladrillos.

Un mago tiene cien cartas numeradas del 1 al 100. Las coloca en tres cajas, una roja, una blanca y una azul, de modo que cada caja contiene al menos una carta. Un miembro del público extrae dos cartas de dos cajas diferentes y anuncia la suma de los números de esas cartas. Dada esta información, el mago localiza la caja de la que no se ha extraído ninguna carta. ¿De cuántas maneras se pueden colocar las cartas en las tres cajas para que el truco funcione?

Sean $m$, $n$ enteros positivos. En un tablero de ajedrez de $m\times{n}$, dividido en cuadrados de $1\times1$, consideramos todos los caminos que van desde el vértice superior derecho al vértice inferior izquierdo, viajando exclusivamente en las líneas de la cuadrícula yendo hacia abajo o hacia la izquierda. Definimos el área de un camino como el número de cuadrados en el tablero de ajedrez que están por debajo de este camino. Sea $p$ un primo tal que $r_{p}(m)+r_{p}(n)\geq{p}$, donde $r_{p}(m)$ denota el residuo cuando $m$ es dividido por $p$ y $r_{p}(n)$ denota el residuo cuando $n$ es dividido por $p$. ¿Cuántos caminos tienen un área que es múltiplo de $p$?

Usando triángulos equiláteros de cartulina de lado $1$, se forma un triángulo equilátero de lado $2^{2004}$. Se remueve un triángulo equilátero de lado $1$ cuyo centro coincide con el centro del triángulo grande. Determina si es posible cubrir completamente la superficie restante, sin superposiciones ni agujeros, usando sólo piezas en forma de trapecio isósceles, cada uno de los cuales se crea uniendo tres triángulos equiláteros de lado $1$.