Determine el entero más pequeño $j$ tal que sea posible llenar los campos de la tabla $10\times 10$ con números del $1$ al $100$ de modo que cada $10$ números consecutivos se encuentren en algunos de los cuadrados $j\times j$ de la tabla.

Se nos da un triángulo acutángulo $ABC$ con $AB < AC < BC$ . Los puntos $K$ y $L$ se eligen en los segmentos $AC$ y $BC$ , respectivamente, de modo que $AB = CK = CL$ . Las bisectrices perpendiculares de los segmentos $AK$ y $BL$ se intersecan con la línea $AB$ en los puntos $P$ y $Q$ , respectivamente. Los segmentos $KP$ y $LQ$ se intersecan en el punto $M$ . Demuestre que $AK + KM = BL + LM$ .

Encuentre todos los enteros $n \ge 3$ con la siguiente propiedad: es posible asignar enteros positivos distintos por pares a los vértices de un prisma $n$ - gonal de tal manera que los vértices con etiquetas $a$ y $b$ estén conectados por una arista si y sólo si $a | b$ o $b | a$ .

Sean $x$ e $y$ números reales tales que $x^2 + y^2 - 1 < xy$ . Demuestre que $x + y - |x - y| < 2$ .

Sea $AB$ un segmento dado y $M$ su punto medio. Consideramos el conjunto de triángulos rectángulos $ABC$ con hipotenusas $AB$ . Denotemos por $D$ el pie de la altura desde $C$ . Sean $K$ y $L$ los pies de las perpendiculares desde $D$ a los catetos $BC$ y $AC$ , respectivamente. Determine el área máxima posible del cuadrilátero $MKCL$ .

Determine todos los enteros positivos $n\geq 2$ que satisfacen la siguiente condición: para todo $a$ y $b$ primos relativos con $n$ tenemos \[a \equiv b \pmod n\qquad\text{si y solo si}\qquad ab\equiv 1 \pmod n.\]

Sean $AH_1, BH_2, CH_3$ las alturas de un triángulo acutángulo $ABC$. Su incírculo toca los lados $BC, AC$ y $AB$ en $T_1, T_2$ y $T_3$ respectivamente. Considere las imágenes simétricas de las líneas $H_1H_2, H_2H_3$ y $H_3H_1$ con respecto a las líneas $T_1T_2, T_2T_3$ y $T_3T_1$. Pruebe que estas imágenes forman un triángulo cuyos vértices se encuentran en el incírculo de $ABC$.

Diez gánsteres están de pie sobre una superficie plana, y las distancias entre ellos son todas distintas. A las doce en punto, cuando las campanas de la iglesia comienzan a sonar, cada uno de ellos dispara fatalmente al más cercano entre los otros nueve gánsteres. ¿Al menos cuántos gánsteres serán asesinados?

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo. Las mediatrices de sus lados $AB$ y $CD$ se intersecan en $Y$. Denotemos por $X$ un punto dentro del cuadrilátero $ABCD$ tal que $ \measuredangle ADX = \measuredangle BCX < 90^{\circ}$ y $ \measuredangle DAX = \measuredangle CBX < 90^{\circ}$ . Demuestra que $ \measuredangle AYB = 2\cdot\measuredangle ADX$.

Las tangentes en $B$ y $A$ a la circunferencia circunscrita de un triángulo acutángulo $ABC$ se encuentran con la tangente en $C$ en $T$ y $U$ respectivamente. $AT$ se encuentra con $BC$ en $P$, y $Q$ es el punto medio de $AP$; $BU$ se encuentra con $CA$ en $R$, y $S$ es el punto medio de $BR$. Pruebe que $\angle ABQ=\angle BAS$. Determine, en términos de razones de las longitudes de los lados, los triángulos para los cuales este ángulo es máximo.