Sean $f$ y $g$ dos polinomios no nulos con coeficientes enteros y $\deg f>\deg g$ . Suponga que para infinitos primos $p$ el polinomio $pf+g$ tiene una raíz racional. Demuestra que $f$ tiene una raíz racional.

Sea $n\ge 3$ un entero, y sean $a_2,a_3,\ldots ,a_n$ números reales positivos tales que $a_{2}a_{3}\cdots a_{n}=1$ . Demuestra que \[(1 + a_2)^2 (1 + a_3)^3 \dotsm (1 + a_n)^n > n^n.\]

Sean $\mathbb{Z}$ y $\mathbb{Q}$ los conjuntos de enteros y racionales respectivamente. a) ¿Existe una partición de $\mathbb{Z}$ en tres subconjuntos no vacíos $A,B,C$ tales que los conjuntos $A+B, B+C, C+A$ son disjuntos? b) ¿Existe una partición de $\mathbb{Q}$ en tres subconjuntos no vacíos $A,B,C$ tales que los conjuntos $A+B, B+C, C+A$ son disjuntos? Aquí $X+Y$ denota el conjunto $\{ x+y : x \in X, y \in Y \}$ , para $X,Y \subseteq \mathbb{Z}$ y para $X,Y \subseteq \mathbb{Q}$ .

Encuentra todas las funciones $f:\mathbb Z\rightarrow \mathbb Z$ tales que, para todos los enteros $a,b,c$ que satisfacen $a+b+c=0$ , la siguiente igualdad se cumple: \[f(a)^2+f(b)^2+f(c)^2=2f(a)f(b)+2f(b)f(c)+2f(c)f(a).\] (Aquí $\mathbb{Z}$ denota el conjunto de los enteros.)

Sea $k$ un entero positivo dado. Encuentre todas las ternas de enteros positivos $a, b, c$ , tales que $a + b + c = 3k + 1$ , $ab + bc + ca = 3k^2 + 2k$ .

Sea $ABC$ un triángulo con $AB : AC : BC =5:5:6$ . Denotemos por $M$ el punto medio de $BC$ y por $N$ el punto en el segmento $BC$ tal que $BN = 5 \cdot CN$ . Demuestre que el circuncentro del triángulo $ABN$ es el punto medio del segmento que conecta los incentros de los triángulos $ABC$ y $ABM$ .

Varias baldosas congruentes a la que se muestra en la imagen a continuación deben encajar dentro de una tabla cuadrada de $11 \times 11$ , con cada baldosa cubriendo $6$ cuadrados unitarios enteros, sin sobresalir del cuadrado y sin superponerse. (a) Determine el mayor número de baldosas que se pueden colocar de esta manera. (b) Encuentre, con una prueba, todos los cuadrados unitarios que deben cubrirse en cualquier teselado con el número máximo de baldosas.

En un plano se dibujan varias líneas rectas de tal manera que cada una de ellas interseca exactamente a $15$ otras líneas. ¿Cuántas líneas se dibujan en el plano? Encuentre todas las posibilidades y justifique su respuesta.

Encuentre el entero más grande $d$ que divide a los tres números $abc, bca$ y $cab$ con $a, b$ y $c$ siendo algunos dígitos distintos de cero y mutuamente diferentes.

Sea $ABC$ un triángulo rectángulo con hipotenusa $AB$ . Denotemos por $D$ el pie de la altura desde $C$ . Sean $Q, R$ , y $P$ los puntos medios de los segmentos $AD, BD$ , y $CD$ , respectivamente. Demuestre que $\angle AP B + \angle QCR = 180^o$ .