Hay dados $2^{500}$ puntos en un círculo etiquetados $1,2,\ldots ,2^{500}$ en algún orden. Demuestra que se pueden elegir $100$ cuerdas disjuntas por pares que unan algunos de estos puntos de manera que las $100$ sumas de los pares de números en los extremos de la cuerda elegida sean iguales.

El juego de adivinanzas del mentiroso es un juego que se juega entre dos jugadores $A$ y $B$ . Las reglas del juego dependen de dos enteros positivos $k$ y $n$ que son conocidos por ambos jugadores. Al comienzo del juego, $A$ elige enteros $x$ y $N$ con $1 \le x \le N.$ El jugador $A$ mantiene $x$ en secreto y le dice honestamente $N$ al jugador $B$ . El jugador $B$ ahora intenta obtener información sobre $x$ haciendo preguntas al jugador $A$ de la siguiente manera: cada pregunta consiste en que $B$ especifique un conjunto arbitrario $S$ de enteros positivos (posiblemente uno especificado en alguna pregunta anterior) y le pregunte a $A$ si $x$ pertenece a $S$ . El jugador $B$ puede hacer tantas preguntas como desee. Después de cada pregunta, el jugador $A$ debe responderla inmediatamente con sí o no , pero se le permite mentir tantas veces como quiera; la única restricción es que, entre cada $k+1$ respuestas consecutivas, al menos una respuesta debe ser veraz. Después de que $B$ haya hecho tantas preguntas como desee, debe especificar un conjunto $X$ de a lo sumo $n$ enteros positivos. Si $x$ pertenece a $X$ , entonces $B$ gana; de lo contrario, pierde. Demuestre que:\n1. Si $n \ge 2^k,$ entonces $B$ puede garantizar una victoria.\n2. Para todo $k$ suficientemente grande, existe un entero $n \ge (1.99)^k$ tal que $B$ no puede garantizar una victoria.

Las columnas y las filas de un tablero cuadrado de $3n \times 3n$ están numeradas $1,2,\ldots ,3n$ . Cada cuadrado $(x,y)$ con $1 \leq x,y \leq 3n$ está coloreado de color espárrago, bizantino o citrino según el resto módulo $3$ de $x+y$ sea $0,1$ o $2$ respectivamente. Se coloca una ficha coloreada de espárrago, bizantino o citrino en cada cuadrado, de modo que haya $3n^2$ fichas de cada color. Suponga que se pueden permutar las fichas de modo que cada ficha se mueva a una distancia de a lo sumo $d$ de su posición original, cada ficha de espárrago reemplaza una ficha bizantina, cada ficha bizantina reemplaza una ficha citrina, y cada ficha citrina reemplaza una ficha de espárrago. Demuestre que es posible permutar las fichas de modo que cada ficha se mueva a una distancia de a lo sumo $d+2$ de su posición original, y cada cuadrado contiene una ficha con el mismo color que el cuadrado.

Los jugadores $A$ y $B$ juegan un juego con $N \geq 2012$ monedas y $2012$ cajas dispuestas alrededor de un círculo. Inicialmente $A$ distribuye las monedas entre las cajas de modo que haya al menos $1$ moneda en cada caja. Luego, los dos hacen movimientos en el orden $B,A,B,A,\ldots $ según las siguientes reglas:\n(a) En cada movimiento suyo, $B$ pasa $1$ moneda de cada caja a una caja adyacente.\n(b) En cada movimiento suyo, $A$ elige varias monedas que no estuvieron involucradas en el movimiento anterior de $B$ y están en diferentes cajas. Ella pasa cada moneda a una caja adyacente.\nEl objetivo de la jugadora $A$ es asegurar al menos $1$ moneda en cada caja después de cada movimiento suyo, independientemente de cómo juegue $B$ y cuántos movimientos se hagan. Encuentre el menor $N$ que le permita tener éxito.

En una tabla cuadrada de $999 \times 999$ algunas celdas son blancas y las restantes son rojas. Sea $T$ el número de triples $(C_1,C_2,C_3)$ de celdas, las dos primeras en la misma fila y las dos últimas en la misma columna, con $C_1,C_3$ blancas y $C_2$ roja. Encuentre el valor máximo que $T$ puede alcanzar.

Sea $n \geq 1$ un entero. ¿Cuál es el número máximo de pares disjuntos de elementos del conjunto $\{ 1,2,\ldots , n \}$ tal que las sumas de los diferentes pares son enteros diferentes que no exceden $n$?

Varios enteros positivos están escritos en una fila. Iterativamente, Alicia elige dos números adyacentes $x$ e $y$ tales que $x>y$ y $x$ está a la izquierda de $y$ , y reemplaza el par $(x,y)$ por $(y+1,x)$ o $(x-1,x)$ . Demuestra que solo puede realizar un número finito de tales iteraciones.

Decimos que una función $f:\mathbb{R}^k \rightarrow \mathbb{R}$ es un metapolinomio si, para algunos enteros positivos $m$ y $n$ , puede representarse en la forma\n\[f(x_1,\cdots , x_k )=\max_{i=1,\cdots , m} \min_{j=1,\cdots , n}P_{i,j}(x_1,\cdots , x_k),\]\ndonde $P_{i,j}$ son polinomios multivariados. Demuestra que el producto de dos metapolinomios es también un metapolinomio.

Sea $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ una función, y sea $f^m$ la función $f$ aplicada $m$ veces. Suponga que para todo $n \in \mathbb{N}$ existe un $k \in \mathbb{N}$ tal que $f^{2k}(n)=n+k$ , y sea $k_n$ el menor de tales $k$ . Demuestra que la secuencia $k_1,k_2,\ldots $ no está acotada.

Encuentra todas las funciones $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ que satisfacen las condiciones\n\[f(1+xy)-f(x+y)=f(x)f(y) \quad \text{para toda } x,y \in \mathbb{R},\]\ny $f(-1) \neq 0$ .