Encuentre todas las ternas $(x,y,z)$ de enteros positivos tales que $x \leq y \leq z$ y \[x^3(y^3+z^3)=2012(xyz+2).\]

Sea admisible un conjunto $A$ de enteros que tiene la siguiente propiedad: Si $x,y \in A$ (posiblemente $x=y$ ) entonces $x^2+kxy+y^2 \in A$ para cada entero $k$ . Determine todos los pares $m,n$ de enteros no nulos tales que el único conjunto admisible que contiene tanto a $m$ como a $n$ es el conjunto de todos los enteros.

Sea $ABC$ un triángulo con circuncírculo $\omega$ y $\ell$ una línea sin puntos en común con $\omega$. Denotemos por $P$ el pie de la perpendicular desde el centro de $\omega$ a $\ell$. Las líneas de los lados $BC,CA,AB$ intersecan a $\ell$ en los puntos $X,Y,Z$ diferentes de $P$. Demuestre que los circuncírculos de los triángulos $AXP$, $BYP$ y $CZP$ tienen un punto en común diferente de $P$ o son mutuamente tangentes en $P$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con lados no paralelos $BC$ y $AD$. Asuma que hay un punto $E$ en el lado $BC$ tal que los cuadriláteros $ABED$ y $AECD$ son circunscritos. Demuestre que hay un punto $F$ en el lado $AD$ tal que los cuadriláteros $ABCF$ y $BCDF$ son circunscritos si y sólo si $AB$ es paralelo a $CD$.

Sea $ABC$ un triángulo con circuncentro $O$ e incentro $I$. Los puntos $D,E$ y $F$ en los lados $BC,CA$ y $AB$ respectivamente son tales que $BD+BF=CA$ y $CD+CE=AB$. Las circunferencias circunscritas de los triángulos $BFD$ y $CDE$ se intersecan en $P \neq D$. Demuestre que $OP=OI$.

Sea $ABC$ un triángulo con $\angle BCA=90^{\circ}$, y sea $D$ el pie de la altura desde $C$. Sea $X$ un punto en el interior del segmento $CD$. Sea $K$ el punto en el segmento $AX$ tal que $BK=BC$. Similarmente, sea $L$ el punto en el segmento $BX$ tal que $AL=AC$. Sea $M$ el punto de intersección de $AL$ y $BK$. Muestre que $MK=ML$.

Sea $ABC$ un triángulo con $AB \neq AC$ y circuncentro $O$. La bisectriz de $\angle BAC$ interseca a $BC$ en $D$. Sea $E$ la reflexión de $D$ con respecto al punto medio de $BC$. Las líneas que pasan por $D$ y $E$ perpendiculares a $BC$ intersecan las líneas $AO$ y $AD$ en $X$ e $Y$ respectivamente. Demuestre que el cuadrilátero $BXCY$ es cíclico.

En un triángulo acutángulo $ABC$, los puntos $D,E$ y $F$ son los pies de las alturas que pasan por $A,B$ y $C$ respectivamente. Los incentros de los triángulos $AEF$ y $BDF$ son $I_1$ e $I_2$ respectivamente; los circuncentros de los triángulos $ACI_1$ y $BCI_2$ son $O_1$ y $O_2$ respectivamente. Demuestra que $I_1I_2$ y $O_1O_2$ son paralelos.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico cuyas diagonales $AC$ y $BD$ se encuentran en $E$. Las extensiones de los lados $AD$ y $BC$ más allá de $A$ y $B$ se encuentran en $F$. Sea $G$ el punto tal que $ECGD$ es un paralelogramo, y sea $H$ la imagen de $E$ bajo la reflexión en $AD$. Demuestra que $D,H,F,G$ son concíclicos.

Dado un triángulo $ABC$, el punto $J$ es el centro del excírculo opuesto al vértice $A$. Este excírculo es tangente al lado $BC$ en $M$ , y a las líneas $AB$ y $AC$ en $K$ y $L$ , respectivamente. Las líneas $LM$ y $BJ$ se encuentran en $F$ , y las líneas $KM$ y $CJ$ se encuentran en $G$. Sea $S$ el punto de intersección de las líneas $AF$ y $BC$ , y sea $T$ el punto de intersección de las líneas $AG$ y $BC$. Demuestra que $M$ es el punto medio de $ST$. (El excírculo de $ABC$ opuesto al vértice $A$ es el círculo que es tangente al segmento de línea $BC$ , al rayo $AB$ más allá de $B$ , y al rayo $AC$ más allá de $C$ .)