Sea $k$ un círculo con diámetro $AB$ . Se elige un punto $C$ dentro del segmento $AB$ y se elige un punto $D$ en $k$ tal que $BCD$ es un triángulo acutángulo, con circuncentro denotado por $O$ . Sea $E$ la intersección del círculo $k$ y la línea $BO$ (diferente de $B$ ) . Demuestra que los triángulos $BCD$ y $ECA$ son similares.

Determina todos los enteros positivos $n$ tales que es posible llenar la tabla de $n \times n$ con números $1, 2$ y $-3$ de manera que la suma de los números en cada fila y cada columna sea $0$ .

Sea $ABC$ un triángulo con centroide $T$ . Denotemos por $M$ el punto medio de $BC$ . Sea $D$ un punto en el rayo opuesto al rayo $BA$ tal que $AB = BD$ . Similarmente, sea $E$ un punto en el rayo opuesto al rayo $CA$ tal que $AC = CE$ . Los segmentos $T D$ y $T E$ intersectan el lado $BC$ en $P$ y $Q$ , respectivamente. Demuestra que los puntos $P, Q$ y $M$ dividen el segmento $BC$ en cuatro partes de igual longitud.

Encuentra todos los pares de enteros positivos $a, b$ tales que $\sqrt{a+2\sqrt{b}}=\sqrt{a-2\sqrt{b}}+\sqrt{b}$ .

Demuestre que para cada primo $p>100$ y cada entero $r$ , existen dos enteros $a$ y $b$ tales que $p$ divide a $a^2+b^5-r$ .

Encuentre todos los enteros positivos $n$ para los cuales existen enteros no negativos $a_1, a_2, \ldots, a_n$ tales que \n$$\n\frac{1}{2^{a_1}} + \frac{1}{2^{a_2}} + \cdots + \frac{1}{2^{a_n}} = \n\frac{1}{3^{a_1}} + \frac{2}{3^{a_2}} + \cdots + \frac{n}{3^{a_n}} = 1.\n$$\n

Sean $x$ e $y$ enteros positivos. Si ${x^{2^n}}-1$ es divisible por $2^ny+1$ para cada entero positivo $n$ , demuestre que $x=1$ .

Para un entero no negativo $n$ defina $\operatorname{rad}(n)=1$ si $n=0$ o $n=1$ , y $\operatorname{rad}(n)=p_1p_2\cdots p_k$ donde $p_1<p_2<\cdots <p_k$ son todos los factores primos de $n$ . Encuentre todos los polinomios $f(x)$ con coeficientes enteros no negativos tales que $\operatorname{rad}(f(n))$ divide a $\operatorname{rad}(f(n^{\operatorname{rad}(n)}))$ para cada entero no negativo $n$ .

Un entero $a$ se dice amigable si la ecuación $(m^2+n)(n^2+m)=a(m-n)^3$ tiene una solución sobre los enteros positivos.\na) Demuestre que hay al menos $500$ enteros amigables en el conjunto $\{ 1,2,\ldots ,2012\}$ .\nb) Decida si $a=2$ es amigable.

Determine todos los enteros $m \geq 2$ tales que cada $n$ con $\frac{m}{3} \leq n \leq \frac{m}{2}$ divide al coeficiente binomial $\binom{n}{m-2n}$ .