Sea $ABC$ un triángulo escaleno acutángulo con circuncentro $O$ . Sea $D$ el pie de la altura desde $A$ al lado $BC$ . Las líneas $BC$ y $AO$ se intersecan en $E$ . Sea $s$ la línea que pasa por $E$ perpendicular a $AO$ . La línea $s$ interseca a $AB$ y $AC$ en $K$ y $L$ , respectivamente. Denotamos por $\omega$ la circunferencia circunscrita del triángulo $AKL$ . La línea $AD$ interseca a $\omega$ nuevamente en $X$ . Demuestre que $\omega$ y las circunferencias circunscritas de los triángulos $ABC$ y $DEX$ tienen un punto en común.

Para cualquier conjunto $A = \{x_1, x_2, x_3, x_4, x_5\}$ de cinco enteros positivos distintos, denotamos por $S_A$ la suma de sus elementos, y denotamos por $T_A$ el número de triples $(i, j, k)$ con $1 \le i < j < k \le 5$ para los cuales $x_i + x_j + x_k$ divide a $S_A$ . Encuentre el valor más grande posible de $T_A$ .

Sea $n$ ( $n \ge 1$ ) un entero. Considere la ecuación $2\cdot \lfloor{\frac{1}{2x}}\rfloor - n + 1 = (n + 1)(1 - nx)$ , donde $x$ es la variable real desconocida. (a) Resuelva la ecuación para $n = 8$ . (b) Demuestre que existe un entero $n$ para el cual la ecuación tiene al menos $2021$ soluciones. (Para cualquier número real $y$ , con $\lfloor{y} \rfloor$ denotamos el entero más grande $m$ tal que $m \le y$ . )

Dado un cuadrilátero cíclico $ABCD$ . Puntos $K, L, M, N$ que se encuentran en los lados $AB, BC, CD, DA$ , respectivamente, satisfacen $\angle ADK=\angle BCK$ , $\angle BAL=\angle CDL$ , $\angle CBM =\angle DAM$ , $\angle DCN =\angle ABN$ . Prueba que las líneas $KM$ y $LN$ son perpendiculares.

Sea $A_1A_2 ...A_{360}$ un $360$ -gono regular con centro $S$ . Para cada uno de los triángulos $A_1A_{50}A_{68}$ y $A_1A_{50}A_{69}$ determina, si sus imágenes bajo algunas $120$ rotaciones con centro $S$ pueden tener (como triángulos) todos los $360$ puntos $A_1, A_2, ..., A_{360}$ como vértices.

Determina todos los valores posibles de la expresión $xy+yz+zx$ con números reales $x, y, z$ que satisfacen las condiciones $x^2-yz = y^2-zx = z^2-xy = 2$ .

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con diagonales perpendiculares, tal que $\angle BAC = \angle ADB$ , $\angle CBD = \angle DCA$ , $AB = 15$ , $CD = 8$ . Demuestra que $ABCD$ es cíclico y encuentra la distancia entre su circuncentro y el punto de intersección de sus diagonales.

La pieza de ajedrez torre enferma puede moverse a lo largo de filas y columnas como una torre regular, pero a lo sumo por $2$ campos. Podemos colocar torres enfermas en un tablero cuadrado de tal manera que ninguna de ellas se ataque entre sí y ningún campo sea atacado por más de una torre enferma . a) Prueba que en un tablero de $30\times 30$, no podemos colocar más de $100$ torres enfermas . b) Encuentra el número máximo de torres enfermas que se pueden colocar en un tablero de $8\times 8$. c) Prueba que en un tablero de $32\times 32$, no podemos colocar más de $120$ torres enfermas .

Números racionales $a, b$ son tales que $a+b$ y $a^2+b^2$ son enteros. Prueba que $a, b$ son enteros.

Dado un grupo en el que cada persona tiene exactamente $d$ amigos y cada dos extraños tienen exactamente un amigo en común. Prueba que hay a lo sumo $d^2 + 1$ personas en este grupo.