Sea $n$ un entero positivo fijo. Encuentre el valor máximo posible de \[ \sum_{1 \le r < s \le 2n} (s-r-n)x_rx_s, \] donde $-1 \le x_i \le 1$ para todo $i = 1, \cdots , 2n$ .

Determine todas las funciones $f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ con la propiedad de que \[f(x-f(y))=f(f(x))-f(y)-1\] se cumple para todo $x,y\in\mathbb{Z}$ .

Suponga que una secuencia $a_1,a_2,\ldots$ de números reales positivos satisface \[a_{k+1}\geq\frac{ka_k}{a_k^2+(k-1)}\] para cada entero positivo $k$ . Demuestre que $a_1+a_2+\ldots+a_n\geq n$ para cada $n\geq2$ .

Sean $x_1, x_2, \ldots, x_n$ reales positivos; para cualquier entero positivo $k$ , sea $S_k=x_1^k+x_2^k+\ldots+x_n^k$ .\n(a) Dado que $S_1<S_2$ , muestre que $S_1, S_2, S_3, \ldots$ es estrictamente creciente.\n(b) Pruebe que existe un entero positivo $n$ y reales positivos $x_1, x_2, \ldots, x_n$ , tal que $S_1>S_2$ y $S_1, S_2, S_3, \ldots$ no es estrictamente decreciente.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y $D, E, F$ los puntos medios de $BC, CA, AB$ , respectivamente. El círculo con diámetro $AD$ interseca las líneas $AB$ y $AC$ en los puntos $P$ y $Q$ , respectivamente. Las líneas que pasan por $P$ y $Q$ paralelas a $BC$ intersecan $DE$ en el punto $R$ y $DF$ en el punto $S$ , respectivamente. El circuncírculo de $DPR$ interseca $AB$ en $X$ , el circuncírculo de $DQS$ interseca $AC$ en $Y$ , y estos dos círculos se intersecan nuevamente en el punto $Z$ . Pruebe que $Z$ es el punto medio de $XY$ .

Considera una secuencia $\{a_n\}$ de enteros, satisfaciendo $a_1=1, a_2=2$ y $a_{n+1}$ es el divisor primo más grande de $a_1+a_2+\ldots+a_n$ . Encuentra $a_{100}$ .

En un semiplano, limitado por una recta \(r\) , se colocan triángulos equiláteros \(S_1, S_2, \ldots, S_n\) , cada uno con un lado paralelo a \(r\) , y su vértice opuesto es el punto del triángulo más alejado de \(r\) . Para cada triángulo \(S_i\) , sea \(T_i\) su triángulo medial. Sea \(S\) la región cubierta por los triángulos \(S_1, S_2, \ldots, S_n\) , y sea \(T\) la región cubierta por los triángulos \(T_1, T_2, \ldots, T_n\) . Demostrar que \[\text{area}(S) \leq 4 \cdot \text{area}(T).\]

Cuadricular el plano formando un tablero infinito. En cada celda de este tablero, hay una lámpara, inicialmente apagada. Una operación permitida consiste en seleccionar un cuadrado de \(3\times 3\) , \(4\times 4\) , o \(5\times 5\) celdas y cambiar el estado de todas las lámparas en ese cuadrado (las que están apagadas se encienden, y las que están encendidas se apagan).\n(a) Demostrar que para cualquier conjunto finito de lámparas, es posible lograr, mediante una secuencia finita de operaciones permitidas, que esas sean las únicas lámparas encendidas en el tablero.\n(b) Demostrar que si en una secuencia de operaciones permitidas sólo se utilizan dos de los tres tamaños de cuadrado, entonces es imposible lograr que al final las únicas lámparas encendidas en el tablero sean las de un cuadrado de \(2\times 2\).

Una lista de \(n\) enteros positivos \(a_1, a_2,a_3,\ldots,a_n\) se dice que es buena si verifica simultáneamente: \n\(\bullet a_1<a_2<a_3<\cdots<a_n,\) \n\(\bullet a_1+a_2^2+a_3^3+\cdots+a_n^n\le 2023.\) \nPara cada \(n\ge 1\) , determine cuántas listas buenas de \(n\) números existen.

Sea $M$ un subconjunto del conjunto de $2021$ enteros $\{1, 2, 3, ..., 2021\}$ tal que para cualesquiera tres elementos (no necesariamente distintos) $a, b, c$ de $M$ tenemos que $|a + b - c | > 10$ . Determine el número más grande posible de elementos de $M$ .