En una compañía de personas, algunas parejas son enemigas. Un grupo de personas se llama insociable si el número de miembros en el grupo es impar y al menos $3$ , y es posible ubicar a todos sus miembros alrededor de una mesa redonda de manera que cada dos vecinos sean enemigos. Dado que hay a lo sumo $2015$ grupos insociables, pruebe que es posible particionar la compañía en $11$ partes de manera que no haya dos enemigos en la misma parte.

Sea $S$ un conjunto no vacío de enteros positivos. Decimos que un entero positivo $n$ es limpio si tiene una representación única como una suma de un número impar de elementos distintos de $S$ . Pruebe que existen infinitos enteros positivos que no son limpios.

La secuencia $a_1,a_2,\dots$ de enteros satisface las condiciones:\n(i) $1\le a_j\le2015$ para todo $j\ge1$ , \n(ii) $k+a_k\neq \ell+a_\ell$ para todo $1\le k<\ell$ . \nPruebe que existen dos enteros positivos $b$ y $N$ para los cuales \n\[\left\vert\sum_{j=m+1}^n(a_j-b)\right\vert\le1007^2\] \npara todos los enteros $m$ y $n$ tales que $n>m\ge N$ .

Sea $n$ un entero positivo. Dos jugadores $A$ y $B$ juegan un juego en el que toman turnos escogiendo enteros positivos $k \le n$. Las reglas del juego son: \n(i) Un jugador no puede escoger un número que haya sido escogido por cualquier jugador en cualquier turno anterior.\n(ii) Un jugador no puede escoger un número consecutivo a cualquiera de los que el jugador ya ha escogido en cualquier turno anterior.\n(iii) El juego es un empate si todos los números han sido escogidos; de lo contrario, el jugador que no puede escoger un número más pierde el juego. El jugador $A$ toma el primer turno. Determine el resultado del juego, asumiendo que ambos jugadores usan estrategias óptimas.

Para un conjunto finito $A$ de enteros positivos, una partición de $A$ en dos subconjuntos no vacíos disjuntos $A_1$ y $A_2$ es $\textit{buena}$ si el mínimo común múltiplo de los elementos en $A_1$ es igual al máximo común divisor de los elementos en $A_2$. Determine el valor mínimo de $n$ tal que exista un conjunto de $n$ enteros positivos con exactamente $2015$ particiones buenas.

Decimos que un conjunto finito $\mathcal{S}$ de puntos en el plano es equilibrado si, para cualquier par de puntos diferentes $A$ y $B$ en $\mathcal{S}$ , hay un punto $C$ en $\mathcal{S}$ tal que $AC=BC$ . Decimos que $\mathcal{S}$ es libre de centro si para cualquier terna de puntos diferentes $A$ , $B$ y $C$ en $\mathcal{S}$ , no hay puntos $P$ en $\mathcal{S}$ tal que $PA=PB=PC$ . (a) Demuestra que para todo entero $n\ge 3$ , existe un conjunto equilibrado que consta de $n$ puntos. (b) Determina todos los enteros $n\ge 3$ para los cuales existe un conjunto equilibrado libre de centro que consta de $n$ puntos.

En Linelandia hay $n\geq1$ pueblos, dispuestos a lo largo de una carretera que va de izquierda a derecha. Cada pueblo tiene una topadora izquierda (colocada a la izquierda del pueblo y mirando a la izquierda) y una topadora derecha (colocada a la derecha del pueblo y mirando a la derecha). Los tamaños de las $2n$ topadoras son distintos. Cada vez que una topadora izquierda y otra derecha se enfrentan, la topadora más grande empuja a la más pequeña fuera de la carretera. Por otro lado, las topadoras están bastante desprotegidas en su parte trasera; así que, si una topadora alcanza la parte trasera de otra, la primera empuja a la segunda fuera de la carretera, independientemente de sus tamaños. Sean $A$ y $B$ dos pueblos, con $B$ a la derecha de $A$ . Decimos que el pueblo $A$ puede barrer el pueblo $B$ si la topadora derecha de $A$ puede moverse hasta $B$ empujando a todas las topadoras que encuentre. Del mismo modo, el pueblo $B$ puede barrer el pueblo $A$ si la topadora izquierda de $B$ puede moverse hasta $A$ empujando a todas las topadoras de todos los pueblos en su camino. Demuestra que hay exactamente un pueblo que no puede ser barrido por ningún otro.

Sea $n$ un entero fijo con $n \ge 2$ . Decimos que dos polinomios $P$ y $Q$ con coeficientes reales son block-similares si para cada $i \in \{1, 2, \ldots, n\}$ las secuencias \n\begin{eqnarray*}\nP(2015i), P(2015i - 1), \ldots, P(2015i - 2014) & \text{and}\\\nQ(2015i), Q(2015i - 1), \ldots, Q(2015i - 2014)\n\end{eqnarray*}\nson permutaciones entre sí. (a) Demuestra que existen polinomios block-similares distintos de grado $n + 1$ . (b) Demuestra que no existen polinomios block-similares distintos de grado $n$ .

Sea $2\mathbb{Z} + 1$ el conjunto de los enteros impares. Encuentra todas las funciones $f:\mathbb{Z} \mapsto 2\mathbb{Z} + 1$ que satisfacen \[ f(x + f(x) + y) + f(x - f(x) - y) = f(x+y) + f(x-y) \] para todo $x, y \in \mathbb{Z}$ .

Sea $\mathbb R$ el conjunto de los números reales. Determine todas las funciones $f:\mathbb R\to\mathbb R$ que satisfacen la ecuación \[f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x)\] para todos los números reales $x$ e $y$ .