Sean $a$ y $b$ enteros positivos tales que $a! + b!$ divide a $a!b!$ . Demuestra que $3a \ge 2b + 2$ .

Determinar todos los enteros positivos $M$ tales que la secuencia $a_0, a_1, a_2, \cdots$ definida por \[ a_0 = M + \frac{1}{2} \qquad \textrm{y} \qquad a_{k+1} = a_k\lfloor a_k \rfloor \quad \textrm{para} \, k = 0, 1, 2, \cdots \] contenga al menos un término entero.

Una triangulación de un polígono convexo $\Pi$ es una partición de $\Pi$ en triángulos por diagonales que no tienen puntos en común aparte de los vértices del polígono. Decimos que una triangulación es una Thaiangulación si todos los triángulos en ella tienen la misma área. Demuestre que dos Thaiangulaciones diferentes de un polígono convexo $\Pi$ difieren exactamente en dos triángulos. (En otras palabras, demuestre que es posible reemplazar un par de triángulos en la primera Thaiangulación con un par diferente de triángulos para obtener la segunda Thaiangulación.)

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo, y sean $P$, $Q$, $R$ y $S$ puntos en los lados $AB$, $BC$, $CD$ y $DA$, respectivamente. Sea el segmento de línea $PR$ y $QS$ se encuentran en $O$. Suponga que cada uno de los cuadriláteros $APOS$, $BQOP$, $CROQ$ y $DSOR$ tiene un incírculo. Demuestre que las líneas $AC$, $PQ$ y $RS$ son concurrentes o paralelas entre sí.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB > AC$. Sea $\Gamma$ su circuncírculo, $H$ su ortocentro, y $F$ el pie de la altitud desde $A$. Sea $M$ el punto medio de $BC$. Sea $Q$ el punto en $\Gamma$ tal que $\angle HQA = 90^{\circ}$ y sea $K$ el punto en $\Gamma$ tal que $\angle HKQ = 90^{\circ}$. Asuma que los puntos $A$, $B$, $C$, $K$ y $Q$ son todos diferentes y se encuentran en $\Gamma$ en este orden. Demuestre que los circuncírculos de los triángulos $KQH$ y $FKM$ son tangentes entre sí.

Sea $ABC$ un triángulo con $CA \neq CB$. Sean $D$, $F$ y $G$ los puntos medios de los lados $AB$, $AC$ y $BC$ respectivamente. Un círculo $\Gamma$ que pasa por $C$ y es tangente a $AB$ en $D$ se encuentra con los segmentos $AF$ y $BG$ en $H$ e $I$, respectivamente. Los puntos $H'$ e $I'$ son simétricos a $H$ e $I$ con respecto a $F$ y $G$, respectivamente. La línea $H'I'$ se encuentra con $CD$ y $FG$ en $Q$ y $M$, respectivamente. La línea $CM$ se encuentra con $\Gamma$ de nuevo en $P$. Demuestre que $CQ = QP$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sea $M$ el punto medio de $AC$. Un círculo $\omega$ que pasa por $B$ y $M$ se encuentra con los lados $AB$ y $BC$ en los puntos $P$ y $Q$ respectivamente. Sea $T$ el punto tal que $BPTQ$ es un paralelogramo. Suponga que $T$ se encuentra en la circunferencia circunscrita de $ABC$. Determine todos los valores posibles de $\frac{BT}{BM}$.

Sea $ABC$ un triángulo con $\angle{C} = 90^{\circ}$, y sea $H$ el pie de la altura desde $C$. Se elige un punto $D$ dentro del triángulo $CBH$ de modo que $CH$ biseca a $AD$. Sea $P$ el punto de intersección de las líneas $BD$ y $CH$. Sea $\omega$ el semicírculo con diámetro $BD$ que se encuentra con el segmento $CB$ en un punto interior. Una línea que pasa por $P$ es tangente a $\omega$ en $Q$. Demuestre que las líneas $CQ$ y $AD$ se encuentran en $\omega$.

El triángulo $ABC$ tiene circunferencia circunscrita $\Omega$ y circuncentro $O$. Un círculo $\Gamma$ con centro $A$ interseca el segmento $BC$ en los puntos $D$ y $E$, de modo que $B$, $D$, $E$ y $C$ son todos diferentes y se encuentran en la línea $BC$ en este orden. Sean $F$ y $G$ los puntos de intersección de $\Gamma$ y $\Omega$, de modo que $A$, $F$, $B$, $C$ y $G$ se encuentran en $\Omega$ en este orden. Sea $K$ el segundo punto de intersección de la circunferencia circunscrita del triángulo $BDF$ y el segmento $AB$. Sea $L$ el segundo punto de intersección de la circunferencia circunscrita del triángulo $CGE$ y el segmento $CA$. Suponga que las líneas $FK$ y $GL$ son diferentes y se intersecan en el punto $X$. Demuestre que $X$ se encuentra en la línea $AO$.

Sean $ABC$ un triángulo acutángulo con ortocentro $H$. Sea $G$ el punto tal que el cuadrilátero $ABGH$ es un paralelogramo. Sea $I$ el punto en la línea $GH$ tal que $AC$ biseca a $HI$. Suponga que la línea $AC$ interseca la circunferencia circunscrita del triángulo $GCI$ en $C$ y $J$. Demuestre que $IJ = AH$.