Determinar el triángulo con lados $a,b,c$ y circunradio $R$ para el cual $R(b+c) = a\sqrt{bc}$ .

Sea $ABC$ un triángulo y sea $I$ el incentro. Sean $N$ , $M$ los puntos medios de los lados $AB$ y $CA$ respectivamente. Las líneas $BI$ y $CI$ se intersecan con $MN$ en $K$ y $L$ respectivamente. Demostrar que $AI+BI+CI>BC+KL$.

Sea $\frac{x^2+y^2}{x^2-y^2} + \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} = k$ . Calcular la siguiente expresión en términos de $k$ : \[ E(x,y) = \frac{x^8 + y^8}{x^8-y^8} - \frac{ x^8-y^8}{x^8+y^8}. \]

Demostrar que dados 9 puntos dentro de un cuadrado de lado 1, siempre podemos encontrar 3 que forman un triángulo con área menor que $\frac 18$.

Para cada entero positivo $n$ con factorización prima $n = \prod_{i = 1}^{k} p_i^{\alpha_i}$, define \[\mho(n) = \sum_{i: \; p_i > 10^{100}} \alpha_i.\] Es decir, $\mho(n)$ es el número de factores primos de $n$ mayores que $10^{100}$, contados con multiplicidad. Encuentre todas las funciones estrictamente crecientes $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ tales que \[\mho(f(a) - f(b)) \le \mho(a - b) \quad \text{para todos los enteros } a \text{ y } b \text{ con } a > b.\]

Sea $\mathbb{Z}_{>0}$ el conjunto de los enteros positivos. Para cualquier entero positivo $k$, una función $f: \mathbb{Z}_{>0} \to \mathbb{Z}_{>0}$ se llama $k$ - buena si $\gcd(f(m) + n, f(n) + m) \le k$ para todos $m \neq n$. Encuentre todos los $k$ tales que existe una función $k$ - buena.

Sea $\mathbb{Z}_{>0}$ el conjunto de los enteros positivos. Considere una función $f: \mathbb{Z}_{>0} \to \mathbb{Z}_{>0}$. Para cualquier $m, n \in \mathbb{Z}_{>0}$ escribimos $f^n(m) = \underbrace{f(f(\ldots f}_{n}(m)\ldots))$. Suponga que $f$ tiene las siguientes dos propiedades: (i) si $m, n \in \mathbb{Z}_{>0}$, entonces $\frac{f^n(m) - m}{n} \in \mathbb{Z}_{>0}$; (ii) El conjunto $\mathbb{Z}_{>0} \setminus \{f(n) \mid n\in \mathbb{Z}_{>0}\}$ es finito. Demuestre que la secuencia $f(1) - 1, f(2) - 2, f(3) - 3, \ldots$ es periódica.

Encuentra todos los enteros positivos $(a,b,c)$ tales que $$ab-c,\quad bc-a,\quad ca-b$$ son todos potencias de $2$ .

Suponga que $a_0, a_1, \cdots $ y $b_0, b_1, \cdots$ son dos sucesiones de enteros positivos tales que $a_0, b_0 \ge 2$ y \[ a_{n+1} = \gcd{(a_n, b_n)} + 1, \qquad b_{n+1} = \operatorname{lcm}{(a_n, b_n)} - 1. \] Demuestra que la sucesión $a_n$ es eventualmente periódica; en otras palabras, existen enteros $N \ge 0$ y $t > 0$ tales que $a_{n+t} = a_n$ para todo $n \ge N$ .

Sean $m$ y $n$ enteros positivos tales que $m>n$ . Define $x_k=\frac{m+k}{n+k}$ para $k=1,2,\ldots,n+1$ . Demuestra que si todos los números $x_1,x_2,\ldots,x_{n+1}$ son enteros, entonces $x_1x_2\ldots x_{n+1}-1$ es divisible por un primo impar.