Sea $n\geq 3$ un entero. Determine si existen permutaciones $(a_1,a_2, \ldots, a_n)$ de los números $(1,2,\ldots, n)$ y $(b_1, b_2, \ldots, b_n)$ de los números $(n+1,n+2,\ldots, 2n)$ de modo que $(a_1b_1, a_2b_2, \ldots a_nb_n)$ sea una progresión aritmética estrictamente creciente.

Decimos que un entero positivo $M$ con $2n$ dígitos es hipercuadrado si se cumplen las siguientes tres condiciones: $M$ es un cuadrado perfecto. El número formado por los primeros $n$ dígitos de $M$ es un cuadrado perfecto. El número formado por los últimos $n$ dígitos de $M$ es un cuadrado perfecto y tiene exactamente $n$ dígitos (su primer dígito no es cero). Encuentra un número hipercuadrado con $2000$ dígitos.

Martín tiene dos cajas $A$ y $B$. En la caja $A$ hay $100$ bolas rojas numeradas del $1$ al $100$, cada una con uno de estos números. En la caja $B$ hay $100$ bolas azules numeradas del $101$ al $200$, cada una con uno de estos números. Martín elige dos enteros positivos $a$ y $b$, ambos menores o iguales que $100$, y luego saca $a$ bolas de la caja $A$ y $b$ bolas de la caja $B$, sin reemplazo. El objetivo de Martín es tener dos bolas rojas y una bola azul entre todas las bolas sacadas de tal manera que la suma de los números de las dos bolas rojas sea igual al número de la bola azul. ¿Cuál es el menor valor posible de $a+b$ para que Martín logre su objetivo con seguridad? Para tal valor mínimo de $a+b$, dé un ejemplo de $a$ y $b$ que satisfaga el objetivo y explique por qué cada $a$ y $b$ con una suma menor no puede lograr el objetivo.

Dos jugadores, Arnaldo y Betania, juegan alternativamente, comenzando Arnaldo. Inicialmente hay dos pilas de piedras que contienen $x$ e $y$ piedras respectivamente. En cada jugada, es posible realizar una de las siguientes operaciones:\n1. Elegir dos pilas no vacías y tomar una piedra de cada pila.\n2. Elegir una pila con una cantidad impar de piedras, tomar una de sus piedras y, si es posible, dividirla en dos pilas con la misma cantidad de piedras.\nEl jugador que no pueda realizar ninguna de las operaciones 1 y 2 pierde. Determina quién tiene la estrategia ganadora en función de $x$ e $y$.

a) Demuestra que existen cinco enteros $A, B, C, D$ y $E$ tales que $2018 = A^5 + B^5 + C^5 + D^5 + E^5$\nb) Demuestra que no existen cuatro enteros $A, B, C$ y $D$ tales que $2018 = A^5 + B^5 + C^5 + D^5$

Encuentra todos los números reales $a$ y $b$ que satisfacen la relación $2(a^2 + 1)(b^2 + 1) = (a + 1)(b + 1)(ab + 1)$.

Sea $ABC$ un triángulo con $AC \ne BC$. En el triángulo $ABC$, sea $G$ el baricentro, $I$ el incentro y $O$ su circuncentro. Demuestra que $IG$ es paralelo a $AB$ si, y solo si, $CI$ es perpendicular a $IO$.

Demuestra que para cada entero no nulo $n$, existen infinitos tríos de enteros no nulos $a, b$ y $c$ que satisfacen las condiciones: \n1. $a + b + c = n$ \n2. $ax^2 + bx + c = 0$ tiene raíces racionales.

Encuentra una forma de escribir todos los dígitos del $1$ al $9$ en una secuencia y sin repetición, de modo que los números determinados por dos dígitos consecutivos cualesquiera de la secuencia sean divisibles por $7$ o $13$.

Sean $n_1$ , $n_2$ , $\ldots$ , $n_{1998}$ enteros positivos tales que \[ n_1^2 + n_2^2 + \cdots + n_{1997}^2 = n_{1998}^2. \] Demostrar que al menos dos de los números son pares.