Sea ${AB}$ un diámetro de un círculo ${\omega}$ y centro ${O}$ , ${OC}$ un radio de ${\omega}$ perpendicular a $AB$ , ${M}$ un punto del segmento $\left( OC \right)$ . Sea ${N}$ el segundo punto de intersección de la línea ${AM}$ con ${\omega}$ y ${P}$ el punto de intersección de las tangentes de ${\omega}$ en los puntos ${N}$ y ${B.}$ Demuestra que los puntos ${M,O,P,N}$ son concíclicos. (Albania)

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB<AC$ y sea $O$ el centro de su circuncírculo $\omega$ . Sea $D$ un punto en el segmento de línea $BC$ tal que $\angle BAD = \angle CAO$ . Sea $E$ el segundo punto de intersección de $\omega$ y la línea $AD$ . Si $M$ , $N$ y $P$ son los puntos medios de los segmentos de línea $BE$ , $OD$ y $AC$ , respectivamente, demuestre que los puntos $M$ , $N$ y $P$ son colineales.

Sean ${\omega_1}$ , ${\omega_2}$ círculos que son tangentes externamente en el punto M y tangentes internamente con el círculo ${\omega_3}$ en los puntos ${K}$ y $L$ respectivamente. Sean ${A}$ y ${B}$ los puntos donde su tangente común en el punto ${M}$ de los círculos ${\omega_1}$ y ${\omega_2}$ se intersectan con el círculo ${\omega_3.}$ Demostrar que si ${\angle KAB=\angle LAB}$ entonces el segmento ${AB}$ es diámetro del círculo ${\omega_3.}$

Encuentra el número máximo de enteros diferentes que se pueden seleccionar del conjunto $ \{1,2,...,2013\}$ de modo que no existan dos cuya diferencia sea igual a $17$.

Demostrar que $\left(a+2b+\dfrac{2}{a+1}\right)\left(b+2a+\dfrac{2}{b+1}\right)\geq 16$ para todos los números reales positivos $a$ y $b$ tales que $ab\geq 1$.

Encontrar el valor máximo de $|\sqrt{x^2+4x+8}-\sqrt{x^2+8x+17}|$ donde $x$ es un número real.

Encontrar todas las ternas ordenadas de números reales $(x,y,z)$ que satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones $x^3=\frac{z}{y}-\frac {2y}{z}$ $y^3=\frac{x}{z}-\frac{2z}{x}$ $z^3=\frac{y}{x}-\frac{2x}{y}$

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB< AC$, y sea $H$ su ortocentro. La circunferencia con diámetro $AH$ se encuentra con la circunferencia circunscrita de $ABC$ en $P\neq A$. La tangente a la circunferencia circunscrita de $ABC$ a través de $P$ interseca la línea $BC$ en $Q$. Demuestra que $QP=QH$.

Sea $n\geq 3$ un entero positivo. En cada celda de un tablero de ajedrez de $n\times n$ se debe escribir $1$ o $2$ de tal manera que la suma de todos los números escritos en cada subtablero de $2\times 3$ y $3\times 2$ sea par. ¿De cuántas maneras diferentes se puede completar el tablero de ajedrez?

Encuentra todos los números primos positivos $p,q,r,s$ tales que $p^2+2019=26(q^2+r^2+s^2)$.