Dado un triángulo $ \,ABC,\,$ sea $ \,I\,$ el centro de su círculo inscrito. Las bisectrices internas de los ángulos $ \,A,B,C\,$ se encuentran con los lados opuestos en $ \,A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }\,$ respectivamente. Demuestra que \[ \frac {1}{4} < \frac {AI\cdot BI\cdot CI}{AA^{\prime }\cdot BB^{\prime }\cdot CC^{\prime }} \leq \frac {8}{27}. \]

Un rectángulo en el Sistema Cartesiano xy se llama reticulado si todos sus vértices tienen coordenadas enteras. a) Encontrar un rectángulo reticulado de área $2013$, cuyos lados no son paralelos a los ejes. b) Mostrar que si un rectángulo reticulado tiene área $2011$, entonces sus lados son paralelos a los ejes.

Encontrar todos los pares ordenados $(a,b)$ de enteros positivos para los cuales los números $\dfrac{a^3b-1}{a+1}$ y $\dfrac{b^3a+1}{b-1}$ son ambos enteros positivos.

Resolver en enteros $20^x+13^y=2013^z$.

Encontrar todos los enteros positivos $n$ para los cuales $1^3+2^3+\cdots+{16}^3+{17}^n$ es un cuadrado perfecto.

Resolver en enteros el sistema de ecuaciones: $$x^2-y^2=z$$ $$3xy+(x-y)z=z^2$$

Resolver en enteros positivos: $\frac{1}{x^2}+\frac{y}{xz}+\frac{1}{z^2}=\frac{1}{2013}$ .

Sea $I$ el incentro y $AB$ el lado más corto del triángulo $ABC$ . El círculo centrado en $I$ que pasa por $C$ intersecta el rayo $AB$ en $P$ y el rayo $BA$ en $Q$ . Sea $D$ el punto de tangencia del $A$ - excírculo del triángulo $ABC$ con el lado $BC$ . Sea $E$ la reflexión de $C$ con respecto al punto $D$ . Demuestre que $PE\perp CQ$ .

Sea $n$ un entero positivo. Dos jugadores, Alice y Bob, están jugando el siguiente juego: - Alice elige $n$ números reales; no necesariamente distintos. - Alice escribe todas las sumas por pares en una hoja de papel y se la da a Bob. (Hay $\frac{n(n-1)}{2}$ tales sumas; no necesariamente distintas.) - Bob gana si encuentra correctamente los $n$ números iniciales elegidos por Alice con solo una conjetura. ¿Puede Bob estar seguro de ganar para los siguientes casos? a. $n=5$ b. $n=6$ c. $n=8$ Justifique su(s) respuesta(s). [Por ejemplo, cuando $n=4$, Alice puede elegir los números 1, 5, 7, 9, que tienen las mismas sumas por pares que los números 2, 4, 6, 10, y por lo tanto Bob no puede estar seguro de ganar.]

Sean ${\omega_1}$ , ${\omega_2}$ círculos que son tangentes externamente en el punto M y tangentes internamente con el círculo ${\omega_3}$ en los puntos ${K}$ y $L$ respectivamente. Sean ${A}$ y ${B}$ los puntos donde su tangente común en el punto ${M}$ de los círculos ${\omega_1}$ y ${\omega_2}$ se intersectan con el círculo ${\omega_3.}$ Demostrar que si ${\angle KAB=\angle LAB}$ entonces el segmento ${AB}$ es diámetro del círculo ${\omega_3.}$