Sea $BC$ un segmento fijo en el plano, y sea $A$ un punto variable en el plano que no está en la línea $BC$ . Se eligen puntos distintos $X$ e $Y$ en los rayos $CA^\to$ y $BA^\to$ , respectivamente, tales que $\angle CBX = \angle YCB = \angle BAC$ . Asuma que las tangentes a la circunferencia circunscrita de $ABC$ en $B$ y $C$ se encuentran con la línea $XY$ en $P$ y $Q$ , respectivamente, tales que los puntos $X$ , $P$ , $Y$ y $Q$ son distintos por parejas y se encuentran en el mismo lado de $BC$ . Sea $\Omega_1$ el círculo que pasa por $X$ y $P$ centrado en $BC$ . Similarmente, sea $\Omega_2$ el círculo que pasa por $Y$ y $Q$ centrado en $BC$ . Pruebe que $\Omega_1$ y $\Omega_2$ se intersecan en dos puntos fijos mientras $A$ varía.

Fije enteros $a$ y $b$ mayores que $1$ . Para cualquier entero positivo $n$ , sea $r_n$ el residuo (no negativo) que $b^n$ deja al dividirlo por $a^n$ . Asuma que existe un entero positivo $N$ tal que $r_n < \frac{2^n}{n}$ para todos los enteros $n\geq N$ . Pruebe que $a$ divide a $b$.

Dado un entero positivo $n$ , una colección $\mathcal{S}$ de $n-2$ ternas no ordenadas de enteros en $\{1,2,\ldots,n\}$ es $n$ -admisible si para cada $1 \leq k \leq n - 2$ y cada elección de $k$ distintos $A_1, A_2, \ldots, A_k \in \mathcal{S}$ tenemos\n$$ \left|A_1 \cup A_2 \cup \cdots A_k \right| \geq k+2.$$\n¿Es cierto que para todo $n > 3$ y para cada colección $n$ -admisible $\mathcal{S}$ , existen puntos $P_1, \ldots , P_n$ distintos por parejas en el plano tales que los ángulos del triángulo $P_iP_jP_k$ son todos menores que $61^{\circ}$ para cualquier terna $\{i, j, k\}$ en $\mathcal{S}$ ?

Considere un primo impar $p$ y un entero positivo $N < 50p$. Sean $a_1, a_2, \ldots , a_N$ una lista de enteros positivos menores que $p$ tales que cualquier valor específico ocurre a lo sumo $\frac{51}{100}N$ veces y $a_1 + a_2 + \cdots· + a_N$ no es divisible por $p$. Pruebe que existe una permutación $b_1, b_2, \ldots , b_N$ de los $a_i$ tal que, para todo $k = 1, 2, \ldots , N$ , la suma $b_1 + b_2 + \cdots + b_k$ no es divisible por $p$.

Sea $n$ un entero positivo. Inicialmente, se coloca un alfil en cada casilla de la fila superior de un tablero de ajedrez de $2^n \times 2^n$; esos alfiles están numerados del $1$ al $2^n$ de izquierda a derecha. Un salto es un movimiento simultáneo realizado por todos los alfiles de tal manera que cada alfil se mueve diagonalmente, en línea recta, un cierto número de casillas, y al final del salto, todos los alfiles se colocan en diferentes casillas de la misma fila. Encuentre el número total de permutaciones $\sigma$ de los números $1, 2, \ldots, 2^n$ con la siguiente propiedad: Existe una secuencia de saltos tal que todos los alfiles terminan en la fila inferior dispuestos en el orden $\sigma(1), \sigma(2), \ldots, \sigma(2^n)$ , de izquierda a derecha.

Se dice que una secuencia infinita $ \,x_{0},x_{1},x_{2},\ldots \,$ de números reales está acotada si existe una constante $ \,C\,$ tal que $ \, \vert x_{i} \vert \leq C\,$ para cada $ \,i\geq 0$ . Dado cualquier número real $ \,a > 1,\,$ construye una secuencia infinita acotada $ x_{0},x_{1},x_{2},\ldots \,$ tal que \[ \vert x_{i} - x_{j} \vert \vert i - j \vert^{a}\geq 1 \] para cada par de enteros no negativos distintos $ i, j$ .

Sea $ \,ABC\,$ un triángulo y $ \,P\,$ un punto interior de $ \,ABC\,$ . Demuestra que al menos uno de los ángulos $ \,\angle PAB,\;\angle PBC,\;\angle PCA\,$ es menor o igual a $ 30^{\circ }$ .

Suponga que $ \,G\,$ es un grafo conectado con $ \,k\,$ aristas. Demuestra que es posible etiquetar las aristas $ 1,2,\ldots ,k\,$ de tal manera que en cada vértice que pertenezca a dos o más aristas, el máximo común divisor de los enteros que etiquetan esas aristas sea igual a 1. Nota: Definición de grafo. Un grafo consiste en un conjunto de puntos, llamados vértices, junto con un conjunto de aristas que unen ciertos pares de vértices distintos. Cada par de vértices $ \,u,v\,$ pertenece a lo sumo a una arista. El grafo $ G$ está conectado si para cada par de vértices distintos $ \,x,y\,$ existe alguna secuencia de vértices $ \,x = v_{0},v_{1},v_{2},\cdots ,v_{m} = y\,$ tal que cada par $ \,v_{i},v_{i + 1}\;(0\leq i < m)\,$ está unido por una arista de $ \,G$ .

Sea $ S = \{1,2,3,\cdots ,280\}$ . Encuentra el entero más pequeño $ n$ tal que cada subconjunto de $ S$ de $ n$ elementos contenga cinco números que sean pairwise relativamente primos.

Sea $ \,n > 6\,$ un entero y $ \,a_{1},a_{2},\cdots ,a_{k}\,$ sean todos los números naturales menores que $ n$ y relativamente primos con $ n$ . Si \[ a_{2} - a_{1} = a_{3} - a_{2} = \cdots = a_{k} - a_{k - 1} > 0, \] demuestra que $ \,n\,$ debe ser un número primo o una potencia de $ \,2$ .