Sea $ABC$ un triángulo rectángulo con $\angle A = 90^o$ y $AD$ su altitud. Dibujamos líneas paralelas desde $D$ a los lados verticales del triángulo y llamamos $E, Z$ sus puntos de intersección con $AB$ y $AC$ respectivamente. La línea paralela desde $C$ a $EZ$ intersecta la línea $AB$ en el punto $N$. Sea $A'$ el simétrico de $A$ con respecto a la línea $EZ$ y $I, K$ las proyecciones de $A'$ sobre $AB$ y $AC$ respectivamente. Si $T$ es el punto de intersección de las líneas $IK$ y $DE$, demuestra que $\angle NA'T = \angle ADT$.

Un conjunto $S$ se llama vecino si tiene las siguientes dos propiedades: a) $S$ tiene exactamente cuatro elementos b) para cada elemento $x$ de $S$, al menos uno de los números $x - 1$ o $x+1$ pertenece a $S$ . Encuentra el número de todos los subconjuntos vecinos del conjunto $\{1,2,... ,n\}$ .

Sea $A$ un conjunto de enteros positivos que satisfacen lo siguiente: a.) Si $n \in A$, entonces $n \le 2018$. b.) Si $S \subset A$ tal que $|S|=3$, entonces existe $m, n \in S$ tal que $|n-m| \ge \sqrt{n}+\sqrt{m}$ ¿Cuál es la cardinalidad máxima de $A$?

Para $a, b, c$ números reales positivos tales que $ab+bc+ca=3$, demuestra: $ \frac{a}{\sqrt{a^3+5}}+\frac{b}{\sqrt{b^3+5}}+\frac{c}{\sqrt{c^3+5}} \leq \frac{\sqrt{6}}{2}$

Sean $a, b, c, d$ y $x, y, z, t$ números reales tales que $0\le a, b, c, d \le 1$, $x, y, z, t \ge 1$ y $a+b+c+d +x+y+z+t=8$. Demuestra que $a^2+b^2+c^2+d^2+x^2+y^2+z^2+t^2\le 28$.

Sea $k > 1, n > 2018$ enteros positivos, y sea $n$ impar. Los números racionales no nulos $x_1,x_2,\ldots,x_n$ no son todos iguales y satisfacen $$x_1+\frac{k}{x_2}=x_2+\frac{k}{x_3}=x_3+\frac{k}{x_4}=\ldots=x_{n-1}+\frac{k}{x_n}=x_n+\frac{k}{x_1}$$ Encuentra: \na) El producto $x_1 x_2 \ldots x_n$ como una función de $k$ y $n$ \nb) El valor más pequeño de $k$ , tal que existen $n,x_1,x_2,\ldots,x_n$ satisfaciendo las condiciones dadas.

Sean $a,b,c$ números reales positivos. Demostrar que $$ \frac{1}{ab(b+1)(c+1)}+\frac{1}{bc(c+1)(a+1)}+\frac{1}{ca(a+1)(b+1)}\geq\frac{3}{(1+abc)^2}.$$

Encuentra el entero positivo máximo $k$ tal que para cualquier entero positivo $m,n$ tal que $m^3+n^3>(m+n)^2$ , tenemos $$m^3+n^3\geq (m+n)^2+k$$

Sean $x,y,z$ números reales positivos. Demostrar: $\frac{x}{\sqrt{\sqrt[4]{y}+\sqrt[4]{z}}}+\frac{y}{\sqrt{\sqrt[4]{z}+\sqrt[4]{x}}}+\frac{z}{\sqrt{\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}}}\geq \frac{\sqrt[4]{(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^7}}{\sqrt{2\sqrt{27}}}}$

Un polinomio $P$ con coeficientes enteros es libre de cuadrados si no es expresable en la forma $P = Q^2R$ , donde $Q$ y $R$ son polinomios con coeficientes enteros y $Q$ no es constante. Para un entero positivo $n$ , sea $P_n$ el conjunto de polinomios de la forma\n$$1 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n$$\ncon $a_1,a_2,\ldots, a_n \in \{0,1\}$ . Pruebe que existe un entero $N$ tal que para todos los enteros $n \geq N$ , más del $99\%$ de los polinomios en $P_n$ son libres de cuadrados.