Hallar todos los enteros positivos de cuatro dígitos $\overline{abcd}=10^3a+10^2b+10c+d$ $(a\ne0)$ tales que: $\overline{abcd} =a^{a+b+c+d}-a^{-a+b-c+d}+a$

Hallar todos los pares ordenados de enteros positivos $(m,n)$ tales que : $125*2^n-3^m=271$

Hallar todos los enteros $m$ y $n$ tales que la quinta potencia de $m$ menos la quinta potencia de $n$ es igual a $16mn$.

Sea $XY$ una cuerda de un círculo $\Omega$ , con centro $O$ , que no es un diámetro. Sean $P, Q$ dos puntos distintos dentro del segmento $XY$ , donde $Q$ se encuentra entre $P$ y $X$ . Sea $\ell$ la línea perpendicular trazada desde $P$ al diámetro que pasa por $Q$ . Sea $M$ el punto de intersección de $\ell$ y $\Omega$ , que está más cerca de $P$ . Demuestra que $$ MP \cdot XY \ge 2 \cdot QX \cdot PY$$

Dado un rectángulo $ABCD$ tal que $AB = b > 2a = BC$ , sea $E$ el punto medio de $AD$ . En una línea paralela a $AB$ que pasa por el punto $E$ , se elige un punto $G$ tal que el área de $GCE$ sea $$(GCE)= \frac12 \left(\frac{a^3}{b}+ab\right)$$ El punto $H$ es el pie de la perpendicular desde $E$ a $GD$ y se toma un punto $I$ en la diagonal $AC$ tal que los triángulos $ACE$ y $AEI$ son similares. Las líneas $BH$ e $IE$ se intersecan en $K$ y las líneas $CA$ y $EH$ se intersecan en $J$ . Demuestra que $KJ \perp AB$ .

Sea $ABC$ un triángulo con longitudes de lado $a, b, c$ , inscrito en un círculo con radio $R$ y sea $I$ su incentro. Sean $P_1, P_2$ y $P_3$ las áreas de los triángulos $ABI, BCI$ y $CAI$ , respectivamente. Demuestra que $$\frac{R^4}{P_1^2}+\frac{R^4}{P_2^2}+\frac{R^4}{P_3^2}\ge 16$$

Sean $\triangle ABC$ y $A'$ , $B'$ , $C'$ los simétricos del vértice sobre los lados opuestos. La intersección de las circunferencias circunscritas de $\triangle ABB'$ y $\triangle ACC'$ es $A_1$ . $B_1$ y $C_1$ se definen de manera similar. Demuestra que las líneas $AA_1$ , $BB_1$ y $CC_1$ son concurrentes.

Sea $ABC$ un triángulo rectángulo con $\angle A = 90^o$ y $AD$ su altitud. Dibujamos líneas paralelas desde $D$ a los lados verticales del triángulo y llamamos $E, Z$ sus puntos de intersección con $AB$ y $AC$ respectivamente. La línea paralela desde $C$ a $EZ$ intersecta la línea $AB$ en el punto $N$. Sea $A'$ el simétrico de $A$ con respecto a la línea $EZ$ y $I, K$ las proyecciones de $A'$ sobre $AB$ y $AC$ respectivamente. Si $T$ es el punto de intersección de las líneas $IK$ y $DE$, demuestra que $\angle NA'T = \angle ADT$.

Sea $H$ el ortocentro de un triángulo acutángulo $ABC$ con $BC > AC$, inscrito en un círculo $\Gamma$. El círculo con centro $C$ y radio $CB$ intersecta a $\Gamma$ en el punto $D$, que está en el arco $AB$ que no contiene a $C$. El círculo con centro $C$ y radio $CA$ intersecta el segmento $CD$ en el punto $K$. La línea paralela a $BD$ que pasa por $K$, intersecta a $AB$ en el punto $L$. Si $M$ es el punto medio de $AB$ y $N$ es el pie de la perpendicular de $H$ a $CL$, demuestra que la línea $MN$ biseca el segmento $CH$.

Las celdas de una tabla de $8 \times 8$ son inicialmente blancas. Alice y Bob juegan un juego. Primero Alice pinta $n$ de los campos en rojo. Luego Bob elige $4$ filas y $4$ columnas de la tabla y pinta todos los campos en ellas de negro. Alice gana si queda al menos un campo rojo. Encuentra el valor mínimo de $n$ tal que Alice pueda ganar el juego sin importar cómo juegue Bob.