Sean $ ABC$ un triángulo isósceles con $ AB = AC$ . $ M$ es el punto medio de $ BC$ y $ O$ es el punto en la línea $ AM$ tal que $ OB$ es perpendicular a $ AB$ . $ Q$ es un punto arbitrario en $ BC$ diferente de $ B$ y $ C$ . $ E$ está en la línea $ AB$ y $ F$ está en la línea $ AC$ tal que $ E, Q, F$ son distintos y colineales. Demuestra que $ OQ$ es perpendicular a $ EF$ si y solo si $ QE = QF$ .

Demuestra que existe un conjunto $ A$ de enteros positivos con la siguiente propiedad: para cualquier conjunto infinito $ S$ de primos, existen dos enteros positivos $ m$ en $ A$ y $ n$ no en $ A$ , cada uno de los cuales es un producto de $ k$ elementos distintos de $ S$ para algún $ k \geq 2$ .

$ ABCD$ es un cuadrilátero con $ BC$ paralelo a $ AD$ . $ M$ es el punto medio de $ CD$ , $ P$ es el punto medio de $ MA$ y $ Q$ es el punto medio de $ MB$ . Las líneas $ DP$ y $ CQ$ se encuentran en $ N$ . Demuestra que $ N$ está dentro del cuadrilátero $ ABCD$

$ C$ y $ D$ son puntos en un semicírculo. La tangente en $ C$ se encuentra con la extensión del diámetro del semicírculo en $ B$ , y la tangente en $ D$ se encuentra con él en $ A$ , de modo que $ A$ y $ B$ están en lados opuestos del centro. Las líneas $ AC$ y $ BD$ se encuentran en $ E$ . $ F$ es el pie de la perpendicular desde $ E$ a $ AB$ . Demuestra que $ EF$ biseca el ángulo $ CFD$

Para cualquier entero positivo $ k$ , sea $ f_k$ el número de elementos en el conjunto $ \{ k + 1, k + 2, \ldots, 2k\}$ cuya representación en base 2 contiene exactamente tres 1s. (a) Demuestra que para cualquier entero positivo $ m$ , existe al menos un entero positivo $ k$ tal que $ f(k) = m$ . (b) Determina todos los enteros positivos $ m$ para los cuales existe exactamente un $ k$ con $ f(k) = m$ .

Sea $ \mathbb{R}$ el conjunto de todos los números reales y $ \mathbb{R}^+$ el subconjunto de todos los positivos. Sean $ \alpha$ y $ \beta$ elementos dados en $ \mathbb{R},$ no necesariamente distintos. Encuentre todas las funciones $ f: \mathbb{R}^+ \mapsto \mathbb{R}$ tales que \[ f(x)f(y) = y^{\alpha} f \left( \frac{x}{2} \right) + x^{\beta} f \left( \frac{y}{2} \right) \forall x,y \in \mathbb{R}^+.\]

Sea $ S$ el conjunto de todos los números reales estrictamente mayores que −1. Encuentre todas las funciones $ f: S \to S$ que satisfacen las dos condiciones:\n(a) $ f(x + f(y) + xf(y)) = y + f(x) + yf(x)$ para todos los $ x, y$ en $ S$ ;\n(b) $ \frac {f(x)}{x}$ es estrictamente creciente en cada uno de los dos intervalos $ - 1 < x < 0$ y $ 0 < x$ .

Sean $ m$ y $ n$ dos enteros positivos. Sean $ a_1$ , $ a_2$ , $ \ldots$ , $ a_m$ $ m$ números diferentes del conjunto $ \{1, 2,\ldots, n\}$ tal que para dos índices cualesquiera $ i$ y $ j$ con $ 1\leq i \leq j \leq m$ y $ a_i + a_j \leq n$ , existe un índice $ k$ tal que $ a_i + a_j = a_k$ . Demuestre que \[ \frac {a_1 + a_2 + ... + a_m}{m} \geq \frac {n + 1}{2}. \]

Sea $ a_{0} = 1994$ y $ a_{n + 1} = \frac {a_{n}^{2}}{a_{n} + 1}$ para cada entero no negativo $ n$ . Demuestre que $ 1994 - n$ es el entero más grande menor o igual que $ a_{n}$ , $ 0 \leq n \leq 998$

Demostrar que existen infinitos enteros positivos $n$ tales que $\frac{4^n+2^n+1}{n^2+n+1}$ es un entero positivo.