Hay $ n + 1$ celdas en una fila etiquetadas de $ 0$ a $ n$ y $ n + 1$ tarjetas etiquetadas de $ 0$ a $ n$. Las tarjetas se colocan arbitrariamente en las celdas, una por celda. El objetivo es llevar la tarjeta $ i$ a la celda $ i$ para cada $ i$. El movimiento permitido es encontrar el $ h$ más pequeño tal que la celda $ h$ tenga una tarjeta con una etiqueta $ k > h$, recoger esa tarjeta, deslizar las tarjetas en las celdas $ h + 1$, $ h + 2$, ... , $ k$ una celda hacia la izquierda y colocar la tarjeta $ k$ en la celda $ k$. Demuestre que se requieren como máximo $ 2^n - 1$ movimientos para colocar cada tarjeta en la celda correcta y que hay una posición inicial única que requiere $ 2^n - 1$ movimientos. [Por ejemplo, si $ n = 2$ y la posición inicial es 210, entonces obtenemos 102, luego 012, un total de 2 movimientos.]

Peter tiene tres cuentas en un banco, cada una con un número entero de dólares. Solo se le permite transferir dinero de una cuenta a otra para que la cantidad de dinero en esta última se duplique. Demuestre que Peter siempre puede transferir todo su dinero a dos cuentas. ¿Puede Peter siempre transferir todo su dinero a una cuenta?

En una determinada ciudad, la edad se calcula en términos de números reales en lugar de enteros. Cada dos ciudadanos $x$ y $x'$ se conocen o no se conocen. Además, si no se conocen, entonces existe una cadena de ciudadanos $x = x_0, x_1, \ldots, x_n = x'$ para algún entero $n \geq 2$ tal que $ x_{i-1}$ y $x_i$ se conocen. En un censo, todos los ciudadanos varones declaran sus edades, y hay al menos un ciudadano varón. Cada ciudadana proporciona solo la información de que su edad es el promedio de las edades de todos los ciudadanos que conoce. Demuestre que esto es suficiente para determinar de manera única las edades de todas las ciudadanas.

Dos jugadores juegan alternativamente en un tablero de $5 \times 5$. El primer jugador siempre ingresa un $1$ en un cuadrado vacío y el segundo jugador siempre ingresa un $0$ en un cuadrado vacío. Cuando el tablero está lleno, se calcula la suma de los números en cada uno de los nueve cuadrados de $3 \times 3$ y el puntaje del primer jugador es la suma más grande. ¿Cuál es el puntaje más grande que el primer jugador puede hacer, independientemente de las respuestas del segundo jugador?

Un número tambaleante es un entero positivo cuyos dígitos son alternativamente cero y no cero con el último dígito no cero (por ejemplo, 201). Encuentra todos los enteros positivos que no dividen a ningún número tambaleante.

Define la secuencia $ a_1, a_2, a_3, ...$ como sigue. $ a_1$ y $ a_2$ son enteros positivos coprimos y $ a_{n + 2} = a_{n + 1}a_n + 1$ . Demuestra que para cada $ m > 1$ existe un $ n > m$ tal que $ a_m^m$ divide a $ a_n^n$ . ¿Es cierto que $ a_1$ debe dividir a $ a_n^n$ para algún $ n > 1$ ?

Define las secuencias $ a_n, b_n, c_n$ como sigue. $ a_0 = k, b_0 = 4, c_0 = 1$ . Si $ a_n$ es par entonces $ a_{n + 1} = \frac {a_n}{2}$ , $ b_{n + 1} = 2b_n$ , $ c_{n + 1} = c_n$ . Si $ a_n$ es impar, entonces $ a_{n + 1} = a_n - \frac {b_n}{2} - c_n$ , $ b_{n + 1} = b_n$ , $ c_{n + 1} = b_n + c_n$ . Encuentra el número de enteros positivos $ k < 1995$ tal que algún $ a_n = 0$ .

Encuentra todos los pares ordenados $ (m,n)$ donde $ m$ y $ n$ son enteros positivos tales que $ \frac {n^3 + 1}{mn - 1}$ es un entero.

$ M$ es un subconjunto de $ \{1, 2, 3, \ldots, 15\}$ tal que el producto de cualesquiera tres elementos distintos de $ M$ no es un cuadrado. Determine el número máximo de elementos en $ M.$

Un círculo $ C$ con centro $ O.$ y una línea $ L$ que no toca el círculo $ C.$ $ OQ$ es perpendicular a $ L,$ $ Q$ está en $ L.$ $ P$ está en $ L,$ dibuja dos tangentes $ L_1, L_2$ al círculo $ C.$ $ QA, QB$ son perpendiculares a $ L_1, L_2$ respectivamente. ( $ A$ en $ L_1,$ $ B$ en $ L_2$ ) . Demuestra que, la línea $ AB$ intersecta a $ QO$ en un punto fijo. Formulación original: Una línea $ l$ no se encuentra con un círculo $ \omega$ con centro $ O.$ $ E$ es el punto en $ l$ tal que $ OE$ es perpendicular a $ l.$ $ M$ es cualquier punto en $ l$ diferente de $ E.$ Las tangentes desde $ M$ a $ \omega$ lo tocan en $ A$ y $ B.$ $ C$ es el punto en $ MA$ tal que $ EC$ es perpendicular a $ MA.$ $ D$ es el punto en $ MB$ tal que $ ED$ es perpendicular a $ MB.$ La línea $ CD$ corta a $ OE$ en $ F.$ Demuestra que la ubicación de $ F$ es independiente de la de $ M.$