Demostrar que no existen enteros $x,y,z$ tales que \[x^4+y^4+z^4-2x^2y^2-2y^2z^2-2z^2x^2=2000 \]

Encontrar todas las ternas $(x,y,z)$ de enteros positivos tales que $xy+yz+zx-xyz=2$.

Encontrar todos los enteros positivos $a,b$ para los cuales $a^4+4b^4$ es un número primo.

Encontrar todos los pares de enteros positivos $(m,n)$ tales que los números $A=n^2+2mn+3m^2+3n$ , $B=2n^2+3mn+m^2$ , $C=3n^2+mn+2m^2$ son consecutivos en algún orden.

Encontrar todos los números de cuatro dígitos tales que cuando se descomponen en factores primos, cada número tiene la suma de sus factores primos igual a la suma de los exponentes.

Encontrar todos los pares de enteros $(m,n)$ tales que los números $A=n^2+2mn+3m^2+2$ , $B=2n^2+3mn+m^2+2$ , $C=3n^2+mn+2m^2+1$ tienen un divisor común mayor que $1$.

Encontrar todos los enteros escritos como $\overline{abcd}$ en representación decimal y $\overline{dcba}$ en base $7$.

Encontrar el mayor entero positivo $x$ tal que $23^{6+x}$ divide a $2000!$

Encontrar todos los cubos perfectos positivos que no son divisibles por $10$ tales que el número obtenido al borrar los últimos tres dígitos también es un cubo perfecto.

Demostrar que existen al menos $666$ números compuestos positivos con $2006$ dígitos, que tienen un dígito igual a $7$ y todos los demás iguales a $1$.