Una tabla de $5 \times 100$ está dividida en $500$ celdas cuadradas unitarias, donde $n$ de ellas están coloreadas de negro y el resto están coloreadas de blanco. Dos celdas cuadradas unitarias se llaman adyacentes si comparten un lado común. Cada una de las celdas cuadradas unitarias tiene como máximo dos celdas cuadradas unitarias negras adyacentes. Encuentra el mayor valor posible de $n$.

El triángulo $ABC$ es tal que $AB < AC$ . La bisectriz perpendicular del lado $BC$ interseca las líneas $AB$ y $AC$ en los puntos $P$ y $Q$ , respectivamente. Sea $H$ el ortocentro del triángulo $ABC$ , y sean $M$ y $N$ los puntos medios de los segmentos $BC$ y $PQ$ , respectivamente. Demuestra que las líneas $HM$ y $AN$ se encuentran en la circunferencia circunscrita de $ABC$.

Sean $a$ , $b$ dos números reales distintos y sea $c$ un número real positivo tal que $a^4 - 2019a = b^4 - 2019b = c$ . Demuestra que $- \sqrt{c} < ab < 0$.

Encuentra todos los números primos $p$ para los cuales existen enteros positivos $x$ , $y$ , y $z$ tales que el número $x^p + y^p + z^p - x - y - z$ es un producto de exactamente tres números primos distintos.

Tres amigos Archie, Billie y Charlie juegan un juego. Al comienzo del juego, cada uno de ellos tiene una pila de $2024$ guijarros. Archie hace el primer movimiento, Billie hace el segundo, Charlie hace el tercero y continúan haciendo movimientos en el mismo orden. En cada movimiento, el jugador que realiza el movimiento debe elegir un entero positivo $n$ mayor que cualquier número elegido previamente por cualquier jugador, tomar $2n$ guijarros de su pila y distribuirlos por igual a los otros dos jugadores. Si un jugador no puede hacer un movimiento, el juego termina y ese jugador pierde el juego. $\hspace{5px}$ Determina todos los jugadores que tienen una estrategia tal que, independientemente de cómo jueguen los otros dos jugadores, no perderán el juego.

Encuentra todas las ternas de enteros positivos $(x, y, z)$ que satisfacen la ecuación $$2020^x + 2^y = 2024^z.$$

Sea $ABC$ un triángulo tal que $AB < AC$. Sea la circunferencia exinscrita opuesta a $A$ tangente a las líneas $AB, AC$ y $BC$ en los puntos $D, E$ y $F$, respectivamente, y sea $J$ su centro. Sea $P$ un punto en el lado $BC$. Las circunferencias circunscritas de los triángulos $BDP$ y $CEP$ se intersecan por segunda vez en $Q$. Sea $R$ el pie de la perpendicular desde $A$ a la línea $FJ$. Demuestra que los puntos $P, Q$ y $R$ son colineales. (La circunferencia exinscrita de un triángulo $ABC$ opuesta a $A$ es el círculo que es tangente al segmento de línea $BC$, al rayo $AB$ más allá de $B$ y al rayo $AC$ más allá de $C$.)

Sean $a, b, c$ números reales positivos tales que $$a^2 + b^2 + c^2 = \frac{1}{4}.$$ Demuestra que $$\frac{1}{\sqrt{b^2 + c^2}} + \frac{1}{\sqrt{c^2 + a^2}} + \frac{1}{\sqrt{a^2 + b^2}} \le \frac{\sqrt{2}}{(a + b)(b + c)(c + a)}.$$

En un torneo de tenis participaron $2n$ niños y $n$ niñas. Cada jugador jugó con todos los demás jugadores. Los niños ganaron $\frac 75$ veces más partidos que las niñas. Se sabe que no hubo empates. Encuentra $n$.

Un semicírculo de diámetro $EF$ se coloca en el lado $BC$ de un triángulo $ABC$ y es tangente a los lados $AB$ y $AC$ en los puntos $Q$ y $P$ respectivamente. Demuestra que el punto de intersección $K$ entre las líneas $EP$ y $FQ$ se encuentra en la altura desde $A$ del triángulo $ABC$.