Encuentra todos los enteros positivos $n\geq 1$ tales que $n^2+3^n$ es el cuadrado de un entero.

Sean $x$ e $y$ números reales positivos tales que \[ x^3 + y^3 + (x + y)^3 + 30xy = 2000. \] Demuestra que $x + y = 10$.

En el lenguaje marciano, cada secuencia finita de letras del alfabeto latino es una palabra. La editorial 'Palabras Marcianas' hace una colección de todas las palabras en muchos volúmenes. En el primer volumen hay solo palabras de una letra, en el segundo, palabras de dos letras, etc., y la numeración de las palabras en cada uno de los volúmenes continúa la numeración del volumen anterior. Encuentre la palabra cuya numeración es igual a la suma de las numeraciones de las palabras Praga, Olimpiada, Matemáticas.

Con las medianas de un triángulo acutángulo se construye otro triángulo. Si $R$ y $R_m$ son los radios de los círculos circunscritos sobre el primer y el segundo triángulo, respectivamente, demuestre que \[R_m>\frac{5}{6}R\]

Sean $1=d_1<d_2<....<d_k=n$ todos los divisores diferentes del entero positivo n escritos en orden ascendente. Determine todos los n tales que: \[d_6^{2} +d_7^{2} - 1=n\]

Un tetraedro está inscrito en una esfera de radio $1$ tal que el centro de la esfera está dentro del tetraedro. Pruebe que la suma de las longitudes de todas las aristas del tetraedro es mayor que 6.

Para una matriz $(p_{ij})$ del formato $m\times n$ con entradas reales, sea \[a_i =\displaystyle\sum_{j=1}^n p_{ij}\text{ para }i = 1,\cdots,m\text{ y }b_j =\displaystyle\sum_{i=1}^m p_{ij}\text{ para }j = 1, . . . , n\longrightarrow(1)\] Al enterar un número real, queremos decir reemplazar el número con el entero más cercano a él. Pruebe que enterar los números $a_i, b_j, p_{ij}$ puede hacerse de tal manera que $(1)$ aún se cumpla.

Dentro del triángulo $ABC$ hay tres círculos $k_1, k_2, k_3$ cada uno de los cuales es tangente a dos lados del triángulo y a su incírculo $k$ . Los radios de $k_1, k_2, k_3$ son $1, 4$ , y $9$ . Determine el radio de $k.$

Desde un punto $P$ exterior a un círculo $K$ , se dibujan dos rayos que intersecan a $K$ en los respectivos pares de puntos $A, A'$ y $B,B' $ . Para cualquier otro par de puntos $C, C'$ en $K$ , sea $D$ el punto de intersección de las circunferencias circunscritas de los triángulos $PAC$ y $PB'C'$ distinto del punto $P$ . Similarmente, sea $D'$ el punto de intersección de las circunferencias circunscritas de los triángulos $PA'C'$ y $PBC$ distinto del punto $P$ . Pruebe que los puntos $P, D$ , y $D'$ son colineales.

Una moneda justa se lanza repetidamente hasta que haya una racha de un número impar de caras seguidas de una cruz. Determine el número esperado de lanzamientos.