Determina todos los pares $(a, b)$ de números reales positivos con $a \neq 1$ tales que $\log_a b < \log_{a+1} (b + 1).$

Determina el entero positivo más pequeño $m$ tal que $529^n+m\cdot 132^n$ es divisible por $262417$ para todos los enteros positivos impares $n$.

Sea $(a_n)_1^{\infty}$ una sucesión tal que $a_n \le a_{n+m} \le a_n + a_m$ para todos los enteros positivos $n$ y $m$. Demuestra que $\frac{a_n}{n}$ tiene un límite cuando $n$ tiende a infinito.

Sean $a, b, c, d$ una permutación de los números $1, 9, 8, 4$ y sea $n = (10a + b)^{10c+d}$. Encuentra la probabilidad de que $1984!$ sea divisible por $n$.

Sean $a, b, c$ enteros no negativos tales que $a \le b \le c, 2b \neq a + c$ y $\frac{a+b+c}{3}$ es un entero. ¿Es posible encontrar tres enteros no negativos $d, e$ y $f$ tales que $d \le e \le f, f \neq c$, y tales que $a^2+b^2+c^2 = d^2 + e^2 + f^2$?

Sean $a, b, c$ números naturales tales que $a+b+c = 2pq(p^{30}+q^{30}), p > q$ siendo dos enteros positivos dados. $(a)$ Demuestra que $k = a^3 + b^3 + c^3$ no es un número primo. $(b)$ Demuestra que si $a\cdot b\cdot c$ es máximo, entonces $1984$ divide a $k$ .

Sea $P$ un polígono plano convexo con ángulos iguales. Sean $l_1,\cdots, l_n$ sus lados. Demuestra que una condición necesaria y suficiente para que $P$ sea regular es que la suma de las razones $\frac{l_i}{l_{i+1}} (i = 1,\cdots, n; l_{n+1}= l_1)$ sea igual al número de lados.

Encuentra una secuencia de números naturales $a_i$ tal que $a_i = \displaystyle\sum_{r=1}^{i+4} d_r$ , donde $d_r \neq d_s$ para $r \neq s$ y $d_r$ divide a $a_i$ .

Construye un triángulo escaleno tal que \[a(\tan B - \tan C) = b(\tan A - \tan C)\]

Dos ciclistas salen simultáneamente de un punto $P$ en una pista circular con velocidades constantes $v_1, v_2 (v_1 > v_2)$ y en el mismo sentido. Un peatón sale de $P$ al mismo tiempo, moviéndose con velocidad $v_3 = \frac{v_1+v_2}{12}$ . Si el peatón y los ciclistas se mueven en direcciones opuestas, el peatón se encuentra con el segundo ciclista $91$ segundos después de encontrarse con el primero. Si el peatón se mueve en la misma dirección que los ciclistas, el primer ciclista lo adelanta $187$ segundos antes de que lo haga el segundo. Encuentra el punto donde el primer ciclista adelanta al segundo ciclista la primera vez.