Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con la línea $CD$ siendo tangente al círculo en el diámetro $AB$ . Demostrar que la línea $AB$ es tangente al círculo en el diámetro $CD$ si y sólo si las líneas $BC$ y $AD$ son paralelas.

Sea $n > 1$ y $x_i \in \mathbb{R}$ para $i = 1,\cdots, n$ . Sea \[S_k = x_1^k+ x^k_2+\cdots+ x^k_n\] para $k \ge 1$ . Si $S_1 = S_2 =\cdots= S_{n+1}$ , demostrar que $x_i \in \{0, 1\}$ para todo $i = 1, 2,\cdots, n.$

Sea $ABC$ un triángulo con bisectrices de ángulos interiores $AA_1, BB_1, CC_1$ e incentro $I$ . Si $\sigma[IA_1B] + \sigma[IB_1C] + \sigma[IC_1A] = \frac{1}{2}\sigma[ABC]$ , donde $\sigma[ABC]$ denota el área de $ABC$ , demostrar que $ABC$ es isósceles.

Dados los puntos $O$ y $A$ en el plano. Cada punto en el plano está coloreado con uno de un número finito de colores. Dado un punto $X$ en el plano, el círculo $C(X)$ tiene centro $O$ y radio $OX+{\angle AOX\over OX}$ , donde $\angle AOX$ se mide en radianes en el rango $[0,2\pi)$ . Demostrar que podemos encontrar un punto $X$ , no en $OA$ , tal que su color aparece en la circunferencia del círculo $C(X)$ .

Sean $a,b,c$ números positivos con $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}= \frac{\sqrt{3}}{2}$ Demuestra que el sistema de ecuaciones \n\[\sqrt{y-a}+\sqrt{z-a}=1\] \n\[\sqrt{z-b}+\sqrt{x-b}=1\] \n\[\sqrt{x-c}+\sqrt{y-c}=1\] \ntiene exactamente una solución $(x,y,z)$ en números reales.

Sean $(a_n)_{n\ge 1}$ y $(b_n)_{n\ge 1}$ dos sucesiones de números naturales tales que $a_{n+1} = na_n + 1, b_{n+1} = nb_n - 1$ para todo $n\ge 1$ . Demostrar que estas dos sucesiones pueden tener sólo un número finito de términos en común.

Sea $X$ un conjunto no vacío arbitrario contenido en el plano y sean los conjuntos $A_1, A_2,\cdots,A_m$ y $B_1, B_2,\cdots, B_n$ sus imágenes bajo traslaciones paralelas. Supongamos que $A_1\cup A_2 \cup \cdots\cup A_m \subset B_1 \cup B_2 \cup\cdots\cup B_n$ y que los conjuntos $A_1, A_2,\cdots,A_m$ son disjuntos. Demuestra que $m \le n$ .

Sean $a,b,c,d$ enteros impares tales que $0<a<b<c<d$ y $ad=bc$ . Demuestra que si $a+d=2^k$ y $b+c=2^m$ para algunos enteros $k$ y $m$ , entonces $a=1$ .

Se da un triángulo $ABC$ para el cual $BC = AC + \frac{1}{2}AB$ . El punto $P$ divide a $AB$ tal que $BP : PA = 1 : 3$ . Demuestra que $\angle CAP = 2\angle CPA$.

Determinar enteros positivos $p, q$ y $r$ tales que la diagonal de un bloque que consta de $p \times q \times r$ cubos unitarios pase exactamente a través de $1984$ de los cubos unitarios, mientras que su longitud es mínima. (Se dice que la diagonal pasa a través de un cubo unitario si tiene más de un punto en común con el cubo unitario).