Encuentre un par de enteros positivos $a,b$ tales que $ab(a+b)$ no sea divisible por $7$, pero $(a+b)^7-a^7-b^7$ sea divisible por $7^7$.

Sea $ABC$ un triángulo isósceles, $AB = AC, \angle A = 20^{\circ}$. Sea $D$ un punto en $AB$, y $E$ un punto en $AC$ tal que $\angle ACD = 20^{\circ}$ y $\angle ABE = 30^{\circ}$. ¿Cuál es la medida del ángulo $\angle CDE$?

Determine todas las funciones continuas $f: \mathbb R \to \mathbb R$ tales que \[f(x + y)f(x - y) = (f(x)f(y))^2, \quad \forall(x, y) \in\mathbb{R}^2.\]

Denotemos por $[x]$ el mayor entero que no excede a $x$. Para todo real $k > 1$, defina dos secuencias: \[a_n(k) = [nk]\text{ y } b_n(k) =\left[\frac{nk}{k - 1}\right]\] Si $A(k) = \{a_n(k) : n \in\mathbb{N}\}$ y $B(k) = \{b_n(k) : n \in \mathbb{N}\}$, demuestre que $A(k)$ y $B(k)$ forman una partición de $\mathbb{N}$ si y solo si $k$ es irracional.

El conjunto $\{1, 2, \cdots, 49\}$ se divide en tres subconjuntos. Demuestre que al menos uno de estos subconjuntos contiene tres números diferentes $a, b, c$ tales que $a + b = c$.

Demuestra que existen números naturales distintos $m_1,m_2, \cdots , m_k$ que satisfacen las condiciones $\pi^{-1984}<25-\left(\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}+\cdots+\frac{1}{m_k}\right)<\pi^{-1960}$ donde $\pi$ es la razón entre un círculo y su diámetro.

Un país tiene $n$ ciudades y cada dos de ellas están unidas por un ferrocarril. Un trabajador ferroviario debe viajar en tren exactamente una vez por todo el sistema ferroviario (llegando a cada ciudad exactamente una vez). Si es imposible para el trabajador viajar en tren entre dos ciudades, puede viajar en avión. ¿Cuál es el número mínimo de vuelos que el trabajador tendrá que usar?

Sean $f_1(x) = x^3+a_1x^2+b_1x+c_1 = 0$ una ecuación con tres raíces positivas $\alpha>\beta>\gamma > 0$ . De la ecuación $f_1(x) = 0$ , se construye la ecuación $f_2(x) = x^3 +a_2x^2 +b_2x+c_2 = x(x+b_1)^2 -(a_1x+c_1)^2 = 0$ . Continuando este proceso, obtenemos ecuaciones $f_3,\cdots, f_n$ . Demuestra que $\lim_{n\to\infty}\sqrt[2^{n-1}]{-a_n} = \alpha$

Sea $ d$ la suma de las longitudes de todas las diagonales de un polígono convexo plano con $ n$ vértices (donde $ n>3$ ) . Sea $ p$ su perímetro. Demuestra que: $ n-3<{2d\over p}<\Bigl[{n\over2}\Bigr]\cdot\Bigl[{n+1\over 2}\Bigr]-2,$ donde $ [x]$ denota el mayor entero que no excede a $ x$.

Los ángulos de un triángulo dado $ABC$ son todos menores que $120^\circ$ . Triángulos equiláteros $AFB, BDC$ y $CEA$ se construyen en el exterior de $ABC$ . (a) Demuestra que las líneas $AD, BE$ , y $CF$ pasan por un punto $S.$ (b) Demuestra que $SD + SE + SF = 2(SA + SB + SC).$