Decida si es posible colorear los $1984$ números naturales $1, 2, 3, \cdots, 1984$ usando $15$ colores de modo que no exista una secuencia geométrica de longitud $3$ del mismo color.

Sea $S_n = \{1, \cdots, n\}$ y sea $f$ una función que mapea cada subconjunto de $S_n$ en un número real positivo y satisface la siguiente condición: Para todo $A \subseteq S_n$ y $x, y \in S_n, x \neq y, f(A \cup \{x\})f(A \cup \{y\}) \le f(A \cup \{x, y\})f(A)$. Pruebe que para todo $A,B \subseteq S_n$ la siguiente desigualdad se cumple: \[f(A) \cdot f(B) \le f(A \cup B) \cdot f(A \cap B)\]

Un 'triángulo numérico' $(t_{n, k}) (0 \le k \le n)$ se define por $t_{n,0} = t_{n,n} = 1 (n \ge 0),$ \[t_{n+1,m} =(2 -\sqrt{3})^mt_{n,m} +(2 +\sqrt{3})^{n-m+1}t_{n,m-1} \quad (1 \le m \le n)\] Pruebe que todos los $t_{n,m}$ son enteros.

La función $f(n)$ se define en los enteros no negativos $n$ por: $f(0) = 0, f(1) = 1$, y \[f(n) = f\left(n -\frac{1}{2}m(m - 1)\right)-f\left(\frac{1}{2}m(m+ 1)-n\right)\] para $\frac{1}{2}m(m - 1) < n \le \frac{1}{2}m(m+ 1), m \ge 2$. Encuentre el entero más pequeño $n$ para el cual $f(n) = 5$.

Un contenedor cilíndrico tiene una altura de $6 cm$ y un radio de $4 cm$. Descansa sobre un aro circular, también de radio $4 cm$, fijado en un plano horizontal con su eje vertical y con cada borde circular del cilindro tocando el aro en dos puntos. El cilindro se mueve ahora de manera que cada uno de sus bordes circulares todavía toque el aro en dos puntos. Encuentre con prueba el lugar geométrico de uno de los extremos verticales del cilindro.

Demuestra que el producto de cinco enteros positivos consecutivos no puede ser el cuadrado de un entero.

(a) Decide si los campos del tablero de ajedrez de $8 \times 8$ pueden ser numerados con los números $1, 2, \dots , 64$ de tal manera que la suma de los cuatro números en cada una de sus partes de una de las formas es divisible por cuatro.\n(b) Resuelve el problema análogo para

Una caja de $2\times 2\times 12$ fijada en el espacio debe ser llenada con veinticuatro ladrillos de $1 \times 1 \times 2$. ¿De cuántas maneras se puede hacer esto?

En una permutación $(x_1, x_2, \dots , x_n)$ del conjunto $1, 2, \dots , n$ llamamos a un par $(x_i, x_j )$ discordante si $i < j$ y $x_i > x_j$ . Sea $d(n, k)$ el número de tales permutaciones con exactamente $k$ pares discordantes. Encuentra $d(n, 2)$ y $d(n, 3).$

Comienza con $a$ bolas blancas y $b$ bolas negras. \n(2) Extrae una bola al azar. \n(3) Si la bola es blanca, entonces detente. De lo contrario, agrega dos bolas negras y ve al paso 2. \nSea $S$ el número de extracciones antes de que el proceso termine. Para los casos $a = b = 1$ y $a = b = 2$ solamente, encuentra $a_n = P(S = n), b_n = P(S \le n), \lim_{n\to\infty} b_n$ , y el valor esperado del número de bolas extraídas: $E(S) =\displaystyle\sum_{n\ge1} na_n.$