Prueba que $0\le yz+zx+xy-2xyz\le{7\over27}$ , donde $x,y$ y $z$ son números reales no negativos que satisfacen $x+y+z=1$ .

Sea $ABC$ un triángulo isósceles con ángulo recto en el punto $A$ . Encuentra el mínimo de la función $F$ dada por \[F(M) = BM +CM-\sqrt{3}AM\]

Sea $c$ el círculo inscrito del triángulo $ABC$ , $d$ una línea tangente a $c$ que no pasa por los vértices del triángulo $ABC$ . Demuestra la existencia de puntos $A_1,B_1, C_1$ , respectivamente, en las líneas $BC,CA,AB$ que satisfacen las siguientes dos propiedades: $(i)$ Las líneas $AA_1,BB_1$ , y $CC_1$ son paralelas. $(ii)$ Las líneas $AA_1,BB_1$ , y $CC_1$ se encuentran con $d$ respectivamente en los puntos $A' ,B'$ , y $C'$ tal que \[\frac{A'A_1}{A' A}=\frac{B'B_1}{B 'B}=\frac{C'C_1}{C'C}\]

Encuentra todas las soluciones del siguiente sistema de $n$ ecuaciones en $n$ variables: \[\begin{array}{c}\ x_1|x_1| - (x_1 - a)|x_1 - a| = x_2|x_2|,x_2|x_2| - (x_2 - a)|x_2 - a| = x_3|x_3|,\ \vdots x_n|x_n| - (x_n - a)|x_n - a| = x_1|x_1|\end{array}\] donde $a$ es un número dado.

La tabla armónica es un arreglo triangular: $1$ $\frac 12 \qquad \frac 12$ $\frac 13 \qquad \frac 16 \qquad \frac 13$ $\frac 14 \qquad \frac 1{12} \qquad \frac 1{12} \qquad \frac 14$ Donde $a_{n,1} = \frac 1n$ y $a_{n,k+1} = a_{n-1,k} - a_{n,k}$ para $1 \leq k \leq n-1.$ Encuentra la media armónica de la fila $1985^{th}$.

Considera todas las sumas de la forma \n\[\displaystyle\sum_{k=1}^{1985} e_kk^5=\pm 1^5\pm 2^5\pm\cdots\pm1985^5\] donde $e_k=\pm 1$ . ¿Cuál es el valor no negativo más pequeño alcanzado por una suma de este tipo?

Sea $c$ un entero positivo. La secuencia $\{f_n\}$ se define como sigue: \n\[f_1 = 1, f_2 = c, f_{n+1} = 2f_n - f_{n-1} + 2 \quad (n \geq 2).\]\nDemostrar que para cada $k \in \mathbb N$ existe $r \in \mathbb N$ tal que $f_kf_{k+1}= f_r.$

Demostrar: \n(a) Existen infinitos triples de enteros positivos $m, n, p$ tales que $4mn - m- n = p^2 - 1.$ \n(b) No existen enteros positivos $m, n, p$ tales que $4mn - m- n = p^2.$

Sea $n$ un entero positivo y $a_1, a_2, \dots , a_{2n}$ enteros mutuamente distintos. Encuentra todos los enteros $x$ que satisfacen \n\[(x - a_1) \cdot (x - a_2) \cdots (x - a_{2n}) = (-1)^n(n!)^2.\]

Demostrar que el volumen de un tetraedro inscrito en un cilindro circular recto de volumen $1$ no excede $\frac{2}{3 \pi}.$