Asuma que el plano bisector del ángulo diedro en el borde $AB$ del tetraedro $ABCD$ se encuentra con el borde $CD$ en el punto $E$ . Denotemos por $S_1, S_2, S_3$ , respectivamente, las áreas de los triángulos $ABC, ABE$ , y $ABD$ . Demuestre que no existe un tetraedro para el cual $S_1, S_2, S_3$ (en este orden) formen una progresión aritmética o geométrica.

El círculo inscrito en el triángulo $A_1A_2A_3$ es tangente a sus lados $A_1A_2, A_2A_3, A_3A_1$ en los puntos $T_1, T_2, T_3$ , respectivamente. Denotemos por $M_1, M_2, M_3$ los puntos medios de los segmentos $A_2A_3, A_3A_1, A_1A_2$ , respectivamente. Demuestre que las perpendiculares a través de los puntos $M_1, M_2, M_3$ a las líneas $T_2T_3, T_3T_1, T_1T_2$ se encuentran en un punto.

En el plano de un triángulo dado $A_1A_2A_3$ determine (con demostración) una línea recta $l$ tal que la suma de las distancias desde $A_1, A_2$ , y $A_3$ a $l$ sea la menor posible.

Demuestre que para cualquier número natural $n$ , el número $\dbinom{2n}{n}$ divide al mínimo común múltiplo de los números $1, 2,\cdots, 2n -1, 2n$ .

Sean $P,Q,R$ los polinomios con coeficientes reales o complejos tales que al menos uno de ellos no es constante. Si $P^n+Q^n+R^n = 0$ , demuestre que $n < 3.$

Para cada entero $n \geq 2$, sea $F(n)$ denote el mayor factor primo de $n$. Un par extraño es un par de primos distintos $p$ y $q$ tal que no hay un entero $n \geq 2$ para el cual $F(n)F(n+1)=pq$. Demuestre que existen infinitos pares extraños.

Un punto reticular en el plano cartesiano es un punto cuyas coordenadas son ambas enteras. Un polígono reticular es un polígono todos cuyos vértices son puntos reticulares. Sea $\Gamma$ un polígono reticular convexo. Demuestre que $\Gamma$ está contenido en un polígono reticular convexo $\Omega$ tal que los vértices de $\Gamma$ se encuentran todos en la frontera de $\Omega$, y exactamente un vértice de $\Omega$ no es un vértice de $\Gamma$.

Sea $k$ el incírculo y sea $l$ el circuncírculo del triángulo $ABC$. Demostrar que para cada punto $A'$ del círculo $l$, existe un triángulo $(A'B'C')$, inscrito en el círculo $l$ y circunscrito sobre el círculo $k.$

Sean $a, b$ números reales positivos, y sean $x, y$ números complejos tales que $|x| = a$ y $|y| = b$. Encuentre el valor mínimo y máximo de \[\left|\frac{x + y}{1 + x\overline{y}}\right|\]

Sea $p$ un número primo. Demostrar que no hay ningún número divisible por $p$ en la fila $n$-ésima del triángulo de Pascal si y solo si $n$ puede representarse en la forma $n = p^sq - 1$, donde $s$ y $q$ son enteros con $s \geq 0, 0 < q < p$.