Sea $ABCDEFGH$ el paralelepípedo rectangular donde $ABCD$ y $EFGH$ son cuadrados y las aristas $AE,BF,CG,DH$ son todas perpendiculares a los cuadrados. Demostrar que si las $12$ aristas del paralelepípedo tienen longitudes enteras, la diagonal interna $AG$ y la diagonal de la cara $AF$ no pueden tener ambas longitudes enteras.

Los radios del círculo circunscrito y el círculo inscrito de un $n$ - gon regular, $n\ge 3$ se denotan por $R_n$ y $r_n$, respectivamente. Demostrar que \[\frac{r_n}{R_n}\ge\left(\frac{r_{n+1}}{R_{n+1}}\right)^2.\]

Encuentra todos los pares de soluciones $(x,y)$ : \[ x^3 + x^2y + xy^2 + y^3 = 8(x^2 + xy + y^2 + 1). \]

¿Existen $\{x,y\}\in\mathbb{Z}$ que satisfagan $(2x+1)^{3}+1=y^{4}$ ?

Diez jugadores comienzan a jugar con la misma cantidad de dinero. Por turno, tiran cinco dados. Si los dados muestran un total de $n$, el jugador debe pagar a cada otro jugador $\frac{1}{n}$ veces la suma que ese jugador posee en el momento. Tiran y pagan uno tras otro. En la ronda $10^{\text{th}}$ (es decir, después de que cada jugador haya tirado los cinco dados una vez), los dados muestran un total de $12$ y después del pago resulta que cada jugador tiene exactamente la misma suma que tenía al principio. ¿Es posible determinar los totales mostrados por los dados en las nueve rondas anteriores?

En un pentágono $\Pi$ en el plano, $M_1,...M_5$ son los puntos medios de los lados consecutivos. $Z_i$ es el centroide del triángulo $M_{i} M_{i+1} M_{i+3}$, donde $i=1,2...5$ y se entiende que $M_{j\cdot 5}=M_j$ Dado el pentágono $Z_{1}Z_{2}Z_{3}Z_{4}Z_{5}$, determine el pentágono original $\Pi$.

Tres puntos $A,B,C$ son tales que $B\in AC$. En un lado de $AC$, dibuje los tres semicírculos con diámetros $AB,BC,CA$. La tangente interior común en $B$ a los dos primeros semicírculos se encuentra con el tercer círculo $E$. Sean $U,V$ los puntos de contacto de la tangente exterior común a los dos primeros semicírculos. Evaluar la razón $R=\frac{[EUV]}{[EAC]}$ como una función de $r_{1} = \frac{AB}{2}$ y $r_2 = \frac{BC}{2}$, donde $[X]$ denota el área del polígono $X$.

Sea $A$ un punto fijo en el interior de un círculo $\omega$ con centro $O$ y radio $r$, donde $0<OA<r$. Dibuje dos cuerdas perpendiculares $BC,DE$ tales que pasen por $A$. ¿Para qué posición de estas cuerdas se maximiza $BC+DE$?

Demostrar que el entero $145^{n} + 3114\cdot 138^{n}$ es divisible por $1981$ si $n=1981$, y que no es divisible por $1981$ si $n=1980$.

Hay un triángulo $ABC$ . Se dan su circuncírculo y su circuncentro. Mostrar cómo se puede construir el ortocentro de $ABC$ utilizando solo una regla (regla no marcada). [Se puede suponer que la regla y el papel son lo suficientemente grandes para que se complete la construcción]