Un triángulo $(ABC)$ y un punto $D$ en su plano satisfacen las relaciones \[\frac{BC}{AD}=\frac{CA}{BD}=\frac{AB}{CD}=\sqrt{3}.\] Demostrar que $(ABC)$ es equilátero y $D$ es su centro.

La función f está definida en el conjunto $\mathbb{Q}$ de todos los números racionales y tiene valores en $\mathbb{Q}$ . Satisface las condiciones $f(1)=2$ y $f(xy)=f(x)f(y)-f(x+y)+1$ para todo $x,y \in \mathbb{Q}$ . Determinar f (con prueba)

Demostrar que si $x,y$ son enteros no negativos entonces $5x\ge 7y$ si y solo si existen enteros no negativos $(a,b,c,d)$ tales que \[\left\{\begin{array}{l}x=a+2b+3c+7d\qquad\\ y=b+2c+5d\qquad\\\n\end{array}\right.\]

Demostrar que si $(a,b,c,d)$ son enteros positivos tales que $(a+2^{\frac13}b+2^{\frac23}c)^2=d$ entonces $d$ es un cuadrado perfecto (es decir, es el cuadrado de un entero positivo).

Demostrar que $4x^3-3x+1=2y^2$ tiene al menos $31$ soluciones en enteros positivos $x,y$ con $x\le 1980$ . Variante: Demostrar que la ecuación $4x^3-3x+1=2y^2$ tiene infinitas soluciones en enteros positivos x,y.

Dados los polígonos $P$ y $Q$ como se muestra en la cuadrícula a continuación, corte $P$ en dos polígonos $P_1$ y $P_2$ de tal manera que, cuando se pegan de manera diferente, forman $Q$. [asy]\nimport graph; size(16cm); real lsf=0.5; pen dps=linewidth(0.7)+fontsize(10); defaultpen(dps); pen ds=black; real xmin=-2.05,xmax=15.10,ymin=-1.87,ymax=9.74; \npen cqcqcq=rgb(0.75,0.75,0.75), zzttqq=rgb(0.6,0.2,0); \ndraw((7,5)--(12,5)--(12,2)--(7,2)--cycle,zzttqq); draw((2,2)--(2,5)--(3,6)--(6,6)--(6,3)--(5,2)--cycle,zzttqq); \n/*grid*/ pen gs=linewidth(0.7)+cqcqcq+linetype('2 2'); real gx=1,gy=1;\nfor(real i=ceil(xmin/gx)*gx;i<=floor(xmax/gx)*gx;i+=gx) draw((i,ymin)--(i,ymax),gs); for(real i=ceil(ymin/gy)*gy;i<=floor(ymax/gy)*gy;i+=gy) draw((xmin,i)--(xmax,i),gs); draw((0,8)--(0,0)); draw((0,0)--(13,0)); draw((13,0)--(13,8)); draw((13,8)--(0,8)); draw((7,5)--(12,5),zzttqq); draw((12,5)--(12,2),zzttqq); draw((12,2)--(7,2),zzttqq); draw((7,2)--(7,5),zzttqq); draw((2,2)--(2,5),zzttqq); draw((2,5)--(3,6),zzttqq); draw((3,6)--(6,6),zzttqq); draw((6,6)--(6,3),zzttqq); draw((6,3)--(5,2),zzttqq); draw((5,2)--(2,2),zzttqq); \ndot((0,0),linewidth(1pt)+ds); dot((13,0),linewidth(1pt)+ds); dot((0,8),linewidth(1pt)+ds); dot((2,2),linewidth(1pt)+ds); dot((6,6),linewidth(1pt)+ds); dot((13,8),linewidth(1pt)+ds); dot((7,2),linewidth(1pt)+ds); dot((7,5),linewidth(1pt)+ds); dot((12,2),linewidth(1pt)+ds); dot((12,5),linewidth(1pt)+ds); label('$Q$',(8.42,2.56),NE*lsf,zzttqq); dot((5,2),linewidth(1pt)+ds); dot((6,3),linewidth(1pt)+ds); dot((2,5),linewidth(1pt)+ds); dot((3,6),linewidth(1pt)+ds); label('$P$',(4.65,2.74),NE*lsf,zzttqq); \nclip((xmin,ymin)--(xmin,ymax)--(xmax,ymax)--(xmax,ymin)--cycle); \n[/asy]

En el espacio euclidiano tridimensional, llamamos plegamiento de una esfera $S$ a cada partición de $S \setminus \{x,y\}$ en círculos disjuntos, donde $x$ e $y$ son dos puntos de $S$. Un plegamiento de $S$ se llama lineal si los círculos del plegamiento se obtienen por la intersección de $S$ con una familia de planos paralelos o con una familia de planos que contienen una línea recta $D$ exterior a $S$. ¿Es todo plegamiento de una esfera $S$ lineal?

Dado un número real $x>1$, demostrar que existe un número real $y >0$ tal que \[\lim_{n \to \infty} \underbrace{\sqrt{y+\sqrt {y + \cdots+\sqrt y}}}_{n \text{ raíces}}=x.\]

Dos círculos $C_1$ y $C_2$ son tangentes en un punto $P$. La línea recta en $D$ es tangente en $A$ a uno de los círculos y corta el otro círculo en los puntos $B$ y $C$. Demostrar que la línea recta $PA$ es una bisectriz (interior o exterior) del ángulo $BPC$.

Sea $p: \mathbb C \to \mathbb C$ un polinomio con grado $n$ y coeficientes complejos que satisface \[x \in \mathbb R \iff p(x) \in \mathbb R.\] Mostrar que $n=1$