Sea $p(x)$ un polinomio con coeficientes enteros tal que $p(0)=p(1)=1$ . Definimos la secuencia $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_n, \ldots$ que comienza con un entero no nulo arbitrario $a_0$ y satisface $a_{n+1}=p(a_n)$ para todo $n \in \mathbb N\cup \{0\}$ . Demostrar que $\gcd(a_i,a_j)=1$ para todo $i,j \in \mathbb N \cup \{0\}$ .

Sea $AB$ un diámetro de un círculo; sean $t_1$ y $t_2$ las tangentes en $A$ y $B$, respectivamente; sea $C$ cualquier punto distinto de $A$ en $t_1$; y sean $D_1D_2, E_1E_2$ arcos en el círculo determinados por dos líneas que pasan por $C$. Demostrar que las líneas $AD_1$ y $AD_2$ determinan un segmento en $t_2$ igual en longitud al segmento en $t_2$ determinado por $AE_1$ y $AE_2.$

Sea $S$ un conjunto de 1980 puntos en el plano tal que la distancia entre cada par de ellos es al menos 1. Demostrar que $S$ tiene un subconjunto de 220 puntos tal que la distancia entre cada par de ellos es al menos $\sqrt{3}.$

Encontrar el mayor número natural $n$ tal que existen números naturales $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ y naturales $a_{1}< a_{2}< \ldots < a_{n-1}$ que satisfacen las siguientes ecuaciones para $i =1,2,\ldots,n-1$ : \[x_{1}x_{2}\ldots x_{n}= 1980 \quad \text{y}\quad x_{i}+\frac{1980}{x_{i}}= a_{i}.\]

Dada una secuencia $\{a_n\}$ de números reales tales que $|a_{k+m} - a_k - a_m| \leq 1$ para todos los enteros positivos $k$ y $m$, demostrar que, para todos los enteros positivos $p$ y $q$, \[|\frac{a_p}{p} - \frac{a_q}{q}| < \frac{1}{p} + \frac{1}{q}.\]

Sea $A_1A_2A_3$ un triángulo y, para $1 \leq i \leq 3$, sea $B_i$ un punto interior del lado opuesto a $A_i$. Demostrar que las bisectrices perpendiculares de $A_iB_i$ para $1 \leq i \leq 3$ no son concurrentes.

Demostrar que $\sum \frac{1}{i_1i_2 \ldots i_k} = n$ se toma sobre todos los subconjuntos no vacíos $\left\{i_1,i_2, \ldots, i_k\right\}$ de $\left\{1,2,\ldots,n\right\}$ . (La $k$ no está fija, por lo que estamos sumando sobre todos los $2^n-1$ posibles subconjuntos no vacíos.)

Demostrar que la suma de los seis ángulos subtendidos en un punto interior de un tetraedro por sus seis aristas es mayor que 540°.

Sea $\{x_n\}$ una secuencia de números naturales tal que \[(a) 1 = x_1 < x_2 < x_3 < \ldots; \quad (b) x_{2n+1} \leq 2n \quad \forall n.\] Demostrar que, para cada número natural $k$, existen términos $x_r$ y $x_s$ tales que $x_r - x_s = k.$

Dado tres progresiones aritméticas infinitas de números naturales tales que cada uno de los números 1,2,3,4,5,6,7 y 8 pertenece a al menos una de ellas, demostrar que el número 1980 también pertenece a al menos una de ellas.