Encontrar los dígitos a la izquierda y a la derecha del punto decimal en la forma decimal del número \[ (\sqrt{2} + \sqrt{3})^{1980}. \]

En un sistema de coordenadas rectangular llamamos a una línea horizontal paralela al eje $x$ triangular si interseca la curva con ecuación \n\[y = x^4 + px^3 + qx^2 + rx + s\]\nen los puntos $A,B,C$ y $D$ (de izquierda a derecha) tales que los segmentos $AB, AC$ y $AD$ son los lados de un triángulo. Demuestre que las líneas paralelas al eje $x$ que intersecan la curva en cuatro puntos distintos son todas triangulares o ninguna de ellas es triangular.

Determine todos los enteros positivos $n$ tales que la siguiente afirmación se cumple: Si un polígono convexo con $2n$ lados $A_1 A_2 \ldots A_{2n}$ está inscrito en un círculo y $n-1$ de sus $n$ pares de lados opuestos son paralelos, lo que significa que si los pares de lados opuestos \n\[(A_1 A_2, A_{n+1} A_{n+2}), (A_2 A_3, A_{n+2} A_{n+3}), \ldots , (A_{n-1} A_n, A_{2n-1} A_{2n})\]\nson paralelos, entonces los lados \n\[ A_n A_{n+1}, A_{2n} A_1\]\nson paralelos también.

Demuestre que la ecuación \n\[ x^n + 1 = y^{n+1}, \]\ndonde $n$ es un entero positivo no menor que 2, no tiene soluciones enteras positivas en $x$ e $y$ para las cuales $x$ y $n+1$ son relativamente primos.

Defina los números $a_0, a_1, \ldots, a_n$ de la siguiente manera: \n\[ a_0 = \frac{1}{2}, \quad a_{k+1} = a_k + \frac{a^2_k}{n} \quad (n > 1, k = 0,1, \ldots, n-1). \]\nDemuestre que \n\[ 1 - \frac{1}{n} < a_n < 1.\]

Sean $\alpha, \beta$ y $\gamma$ los ángulos del triángulo $ABC$. La bisectriz perpendicular de $AB$ interseca a $BC$ en el punto $X$, la bisectriz perpendicular de $AC$ la interseca en $Y$. Demuestre que $\tan(\beta) \cdot \tan(\gamma) = 3$ implica $BC= XY$ (o en otras palabras: Demuestre que una condición suficiente para $BC = XY$ es $\tan(\beta) \cdot \tan(\gamma) = 3$ ). Demuestre que esta condición no es necesaria, y dé una condición necesaria y suficiente para $BC = XY$.

En el plano, considere un punto $ X$ y un polígono $ \mathcal{F}$ (que no es necesariamente convexo). Sea $ p$ el perímetro de $ \mathcal{F}$ , sea $ d$ la suma de las distancias desde el punto $ X$ a los vértices de $ \mathcal{F}$ , y sea $ h$ la suma de las distancias desde el punto $ X$ a las líneas laterales de $ \mathcal{F}$ . Demuestre que $ d^2 - h^2\geq\frac {p^2}{4}.$

Sea $ ABCD$ un cuadrilátero convexo, y sean $ R_A, R_B, R_C, R_D$ los circunradios de los triángulos $ DAB, ABC, BCD, CDA,$ respectivamente. Demuestre que $ R_A + R_C > R_B + R_D$ si y solo si $ \angle A + \angle C > \angle B + \angle D.$

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circuncentro $O$ y circunradio $R$ . $AO$ se encuentra con la circunferencia circunscrita de $BOC$ en $A'$ , $BO$ se encuentra con la circunferencia circunscrita de $COA$ en $B'$ y $CO$ se encuentra con la circunferencia circunscrita de $AOB$ en $C'$ . Demuestre que \[OA'\cdot OB'\cdot OC'\geq 8R^{3}.\]

Sean los lados de dos rectángulos $ \{a,b\}$ y $ \{c,d\},$ respectivamente, con $ a < c \leq d < b$ y $ ab < cd.$ Demuestre que el primer rectángulo puede ser colocado dentro del segundo si y solo si \[ \left(b^2 - a^2\right)^2 \leq \left(bc - ad \right)^2 + \left(bd - ac \right)^2.\]