Sean $ABCDEF$ un hexágono convexo tal que $AB$ es paralelo a $DE$, $BC$ es paralelo a $EF$ y $CD$ es paralelo a $FA$. Sean $R_{A},R_{C},R_{E}$ los circunradios de los triángulos $FAB,BCD,DEF$, respectivamente, y sea $P$ el perímetro del hexágono. Demuestre que \[ R_{A} + R_{C} + R_{E}\geq \frac {P}{2}.\]

Determinar si existen o no dos conjuntos infinitos disjuntos $ A$ y $ B$ de puntos en el plano que satisfagan las siguientes condiciones: \na.) No hay tres puntos en $ A \cup B$ que sean colineales, y la distancia entre dos puntos cualesquiera en $ A \cup B$ es al menos 1. \nb.) Hay un punto de $ A$ en cualquier triángulo cuyos vértices están en $ B,$ y hay un punto de $ B$ en cualquier triángulo cuyos vértices están en $ A.$

Sean $ k,m,n$ enteros tales que $ 1 < n \leq m - 1 \leq k.$ Determine el tamaño máximo de un subconjunto $ S$ del conjunto $ \{1,2,3, \ldots, k-1,k\}$ tal que ningún $ n$ elementos distintos de $ S$ sumen $ m.$

Un cuadrado $ (n - 1) \times (n - 1)$ está dividido en $ (n - 1)^2$ cuadrados unitarios de la manera habitual. Cada uno de los $ n^2$ vértices de estos cuadrados debe colorearse de rojo o azul. Encuentra el número de coloraciones diferentes de modo que cada cuadrado unitario tenga exactamente dos vértices rojos. (Dos esquemas de coloración se consideran diferentes si al menos un vértice se colorea de forma diferente en los dos esquemas.)

Se nos da un entero positivo $ r$ y un tablero rectangular $ ABCD$ con dimensiones $ AB = 20, BC = 12$ . El rectángulo está dividido en una cuadrícula de $ 20 \times 12$ cuadrados unitarios. Los siguientes movimientos están permitidos en el tablero: uno puede moverse de un cuadrado a otro solo si la distancia entre los centros de los dos cuadrados es $ \sqrt {r}$ . La tarea es encontrar una secuencia de movimientos que conduzca desde el cuadrado con $ A$ como vértice hasta el cuadrado con $ B$ como vértice.\n(a) Demostrar que la tarea no se puede realizar si $ r$ es divisible por 2 o 3.\n(b) Demostrar que la tarea es posible cuando $ r = 73$ .\n(c) ¿Se puede realizar la tarea cuando $ r = 97$ ?

Sea la sucesión $ a(n), n = 1,2,3, \ldots$ generada como sigue con $ a(1) = 0,$ y para $ n > 1:$ \[ a(n) = a\left( \left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor \right) + (-1)^{\frac{n(n+1)}{2}}.\] 1.) Determina el valor máximo y mínimo de $ a(n)$ para $ n \leq 1996$ y encuentra todos los $ n \leq 1996$ para los cuales se alcanzan estos valores extremos. 2.) ¿Cuántos términos $ a(n), n \leq 1996,$ son iguales a 0?

Sea $ \mathbb{N}_0$ el conjunto de los enteros no negativos. Encuentra todas las funciones $ f$ de $ \mathbb{N}_0$ en sí mismo tales que \[ f(m + f(n)) = f(f(m)) + f(n)\qquad \text{para todo} \; m, n \in \mathbb{N}_0.\]

Sea $ V$ un conjunto finito y sean $ g$ y $ f$ dos funciones inyectivas sobreyectivas de $ V$ a $ V$ . Sean $ T$ y $ S$ dos conjuntos tales que se definen de la siguiente manera: $ S = \{w \in V: f(f(w)) = g(g(w))\}$ $ T = \{w \in V: f(g(w)) = g(f(w))\}$ Sabemos que $ S \cup T = V$ , probar: para cada $ w \in V : f(w) \in S$ si y solo si $ g(w) \in S$

Se coloca un número finito de monedas en una fila infinita de casillas. Se realiza una secuencia de movimientos de la siguiente manera: en cada etapa se elige una casilla que contenga más de una moneda. Se toman dos monedas de esta casilla; una de ellas se coloca en la casilla inmediatamente a la izquierda, mientras que la otra se coloca en la casilla inmediatamente a la derecha de la casilla elegida. La secuencia termina si en algún momento hay como máximo una moneda en cada casilla. Dada una configuración inicial, demostrar que cualquier secuencia legal de movimientos terminará después del mismo número de pasos y con la misma configuración final.

Sean $ p,q,n$ tres enteros positivos con $ p + q < n$ . Sea $ (x_{0},x_{1},\cdots ,x_{n})$ una $ (n + 1)$ - tupla de enteros que satisfacen las siguientes condiciones : \n(a) $ x_{0} = x_{n} = 0$ , y \n(b) Para cada $ i$ con $ 1\leq i\leq n$ , o bien $ x_{i} - x_{i - 1} = p$ o $ x_{i} - x_{i - 1} = - q$ . \nDemostrar que existen índices $ i < j$ con $ (i,j)\neq (0,n)$ , tales que $ x_{i} = x_{j}$ .