Sean $ a_{1}, a_{2}...a_{n}$ reales no negativos, no todos cero. Muestra que\n(a) El polinomio $ p(x) = x^{n} - a_{1}x^{n - 1} + ... - a_{n - 1}x - a_{n}$ tiene precisamente 1 raíz real positiva $ R$ .\n(b) sea $ A = \sum_{i = 1}^n a_{i}$ y $ B = \sum_{i = 1}^n ia_{i}$ . Muestra que $ A^{A} \leq R^{B}$ .

Sea $ a > 2$ dado, y comenzando $ a_0 = 1, a_1 = a$ define recursivamente: \[ a_{n+1} = \left(\frac{a^2_n}{a^2_{n-1}} - 2 \right) \cdot a_n.\] Muestra que para todos los enteros $ k > 0,$ tenemos: $ \sum^k_{i = 0} \frac{1}{a_i} < \frac12 \cdot (2 + a - \sqrt{a^2-4}).$

Sean $ a_1 \geq a_2 \geq \ldots \geq a_n$ números reales tales que para todos los enteros $ k > 0,$ \[ a^k_1 + a^k_2 + \ldots + a^k_n \geq 0.\] Sea $ p =\max\{|a_1|, \ldots, |a_n|\}.$ Demuestra que $ p = a_1$ y que \[ (x - a_1) \cdot (x - a_2) \cdots (x - a_n) \leq x^n - a^n_1\] para todos los $ x > a_1.$

Suponga que $a, b, c > 0$ tal que $abc = 1$. Demuestra que \[ \frac{ab}{ab + a^5 + b^5} + \frac{bc}{bc + b^5 + c^5} + \frac{ca}{ca + c^5 + a^5} \leq 1. \]

Sean $AL$ y $BK$ bisectrices de los ángulos en el triángulo no isósceles $ABC$ ( $L$ se encuentra en el lado $BC$ , $K$ se encuentra en el lado $AC$ ) . La bisectriz perpendicular de $BK$ interseca la línea $AL$ en el punto $M$ . El punto $N$ se encuentra en la línea $BK$ tal que $LN$ es paralelo a $MK$ . Demuestre que $LN = NA$ .

Considere un triángulo ${ABC}$ y sea ${M}$ el punto medio del lado ${BC.}$ Suponga que ${\angle MAC=\angle ABC}$ y ${\angle BAM=105^{\circ}.}$ Encuentre la medida de ${\angle ABC}$ .

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo . Un círculo $\omega_1(O_1,R_1)$ pasa por los puntos $B$ y $C$ y se encuentra con los lados $AB$ y $AC$ en los puntos $D$ y $E$ , respectivamente . Sea $\omega_2(O_2,R_2)$ la circunferencia circunscrita del triángulo $ADE$ . Demuestre que $O_1O_2$ es igual al circunradio del triángulo $ABC$ .

Considere un triángulo $ABC$ con $\angle ACB=90^{\circ}$ . Sea $F$ el pie de la altura desde $C$ . El círculo $\omega$ toca el segmento de línea $FB$ en el punto $P$ , la altura $CF$ en el punto $Q$ y la circunferencia circunscrita de $ABC$ en el punto $R$ . Demuestre que los puntos $A, Q, R$ son colineales y $AP = AC$ .

Encuentra n tal que $36^n-6$ es el producto de tres números naturales consecutivos.

Encuentra todos los enteros $n$, $n \ge 1$, tales que $n \cdot 2^{n+1}+1$ es un cuadrado perfecto.