Sean $ x, y, z > 0 $ con $ x \leq 2, \;y \leq 3 \;$ y $ x+y+z = 11 $. Demuestra que $xyz \leq 36$

Sean $a,b,c $ números reales positivos tales que $abc(a+b+c)=3$ Demuestra que $(a+b)(b+c)(c+a) \geq 8$

Encuentra todos los pares $(x,y)$ de números reales tales que $ |x|+ |y|=1340$ y $x^{3}+y^{3}+2010xy= 670^{3}$ .

Determina todos los números de cuatro dígitos $\bar{a}\bar{b}\bar{c}\bar{d}$ tales que\n$$a(a+b+c+d)(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})(a^{6}+2b^{6}+3c^{6}+4d^{6})=\bar{a}\bar{b}\bar{c}\bar{d}$$\n

Los números reales $a$ , $b$ , $c$ , $d$ satisfacen simultáneamente las ecuaciones\n\[abc -d = 1, \ \ \ bcd - a = 2, \ \ \ cda- b = 3, \ \ \ dab - c = -6.\]\nDemuestra que $a + b + c + d \not = 0$ .

Demuestra que, dado un entero positivo $n$ , existe un entero positivo $k_n$ con la siguiente propiedad: Dados $k_n$ puntos en el espacio, $4$ por $4$ no coplanares, y números enteros asociados entre $1$ y $n$ a cada arista afilada que une $2$ de estos puntos, necesariamente hay un triángulo determinado por $3$ de ellos, cuyas aristas afiladas tienen asociado el mismo número.

Demuestra que existe una sucesión $a_1, a_2, ... , a_k, ...$ , donde cada $a_i$ es un dígito ( $a_i \in (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)$ ) y $a_0=6$ , tal que, para cada entero positivo $n$ , el número $x_n=a_0+10a_1+100a_2+...+10^{n-1}a_{n-1}$ verifica que $x_n^2-x_n$ es divisible por $10^n$ .

En un tablero de ajedrez ( $8\times 8$ ) están escritos los números $1$ a $64$ : en la primera línea, de izquierda a derecha, están los números $1, 2, 3, ... , 8$ ; en la segunda línea, de izquierda a derecha, están los números $9, 10, 11, ... , 16$ ; etc. Los signos ' ' $ + $ ' ' y ' ' $- $ ' ' se colocan en cada número de tal manera que, en cada línea y en cada columna, hay $4$ signos ' ' $+$ ' ' y $4$ signos ' ' $-$ ' '. Entonces, se suman los $64$ números. Encuentra todos los valores posibles de esta suma.

Encuentra el número de elementos que puede tener un conjunto $B$, contenido en $(1, 2, ... , n)$, de acuerdo con la siguiente propiedad: Para cualquier elemento $a$ y $b$ en $B$ ( $a \ne b$ ) , $(a-b) \not| (a+b)$ .

Considera un círculo con centro $O$ , y $3$ puntos en él, $A,B$ y $C$ , tal que $\angle {AOB}< \angle {BOC}$ . Sea $D$ el punto medio en el arco $AC$ que contiene el punto $B$ . Considera un punto $K$ en $BC$ tal que $DK \perp BC$ . Demuestra que $AB+BK=KC$ .