En una mesa hay una pila con $T$ fichas que se convertirán incrementalmente en pilas de tres fichas cada una. Cada paso consiste en seleccionar una pila y quitar una de sus fichas. Y luego la pila restante se separa en dos pilas. ¿Existe una secuencia de pasos que pueda realizar este proceso?\na.) $T = 1000$ (Cono Sur)\nb.) $T = 2001$

Una función $g$ definida para todos los enteros positivos $n$ satisface $g(1) = 1$ ; para todo $n\ge 1$ , o bien $g(n+1)=g(n)+1$ o $g(n+1)=g(n)-1$ ; para todo $n\ge 1$ , $g(3n) = g(n)$ ; y $g(k)=2001$ para algún entero positivo $k$ . Encuentra, con prueba, el valor más pequeño posible de $k$ .

Encuentra todos los enteros positivos $m$ para los cuales $2001\cdot S (m) = m$ donde $S(m)$ denota la suma de los dígitos de $m$ .

Un polígono de área $S$ está contenido dentro de un cuadrado de lado de longitud $a$ . Demuestra que existen dos puntos del polígono que están a una distancia de al menos $S/a$ .

Tres triángulos acutángulos están inscritos en el mismo círculo con sus vértices siendo nueve puntos distintos. Demuestra que se puede elegir un vértice de cada triángulo de manera que los tres puntos elegidos determinen un triángulo donde cada uno de sus ángulos sea a lo más $90^\circ$ .

Una secuencia $a_1,a_2,\ldots$ de enteros positivos satisface las siguientes propiedades. $a_1 = 1$ $a_{3n+1} = 2a_n + 1$ $a_{n+1}\ge a_n$ $a_{2001} = 200$ Encuentra el valor de $a_{1000}$ .

Cada entrada en un arreglo de $2000\times 2000$ es $0$ , $1$ , o $-1$ . Demuestra que es posible que todas las $4000$ sumas de filas y sumas de columnas sean distintas.

Hay un cuadrado $ABCD$ en el plano con $|AB|=a$. Determinar el valor de radio posible más pequeño de tres círculos iguales para cubrir un cuadrado dado.

Sean $a, b, c$ números reales positivos para los cuales $ab + ac + bc \ge a + b + c$. Demostrar que $a + b + c \ge 3$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con $\angle DAB =\angle ABC =\angle BCD > 90^o$. El círculo circunscrito alrededor del triángulo $ABC$ intersecta los lados $AD$ y $CD$ en los puntos $K$ y $L$, respectivamente, diferentes de cualquier vértice del cuadrilátero $ABCD$. Los segmentos $AL$ y $CK$ se intersectan en el punto $P$. Demostrar que $\angle ADB =\angle PDC$.