En un cierto grupo hay $n \ge 5$ personas, con cada dos personas que no se conocen teniendo exactamente un amigo en común y nadie conoce a todos los demás. Probar que $5$ de $n$ personas pueden sentarse en un círculo alrededor de la mesa de modo que cada uno de ellos se siente entre a) amigos, b) extraños.

Hallar todos los números naturales $n$ tales que la suma de los tres divisores más grandes de $n$ es $1457$.

Decidir si hay infinitos primos $p$ que tienen un múltiplo de la forma $n^2 + n + 1$ para algún número natural $n$

El punto $M$ es el punto medio del lado $AB$ de un triángulo acutángulo $ABC$. El punto $P$ se encuentra en el segmento $AB$, y los puntos $S_1$ y $S_2$ son los centros de las circunferencias circunscritas de $APC$ y $BPC$, respectivamente. Demostrar que el punto medio del segmento $S_1S_2$ se encuentra en la mediatriz del segmento $CM$.

Determinar el número de dos dígitos más grande $d$ con la siguiente propiedad: para cualquier número de seis dígitos $\overline{aabbcc}$, el número $d$ es un divisor del número $\overline{aabbcc}$ si y solo si el número $d$ es un divisor del número de tres dígitos correspondiente $\overline{abc}$. Nota: Los números $a \ne 0, b$ y $c$ no necesitan ser diferentes.

El pentágono $ABCDE$ está inscrito en un círculo y $AB = BC = CD$. Los segmentos $AC$ y $BE$ se intersectan en $K$, y los segmentos $AD$ y $CE$ se intersectan en el punto $L$. Demostrar que $AK = KL$.

Cada entero positivo debe ser coloreado de rojo o verde de tal manera que se cumplan las siguientes dos condiciones: - Sea $n$ cualquier número rojo. La suma de cualquier $n$ (no necesariamente diferentes) números rojos es rojo. - Sea $m$ cualquier número verde. La suma de cualquier $m$ (no necesariamente diferentes) números verdes es verde. Determinar todas estas coloraciones.

Determinar todos los pares $(x, y)$ de enteros que satisfacen la igualdad $\sqrt{x-\sqrt{y}}+ \sqrt{x+\sqrt{y}}= \sqrt{xy}$

Vukasin, Dimitrije, Dusan, Stefan y Filip le pidieron a su profesor que adivinara tres enteros positivos consecutivos, después de estas afirmaciones verdaderas:\nVukasin: 'La suma de los dígitos de un número es un número primo. La suma de los dígitos de otro de los otros dos es un número par perfecto. ($n$ es perfecto si $\sigma(n)=2n$ ). La suma de los dígitos del tercer número es igual al número de sus divisores positivos'.\nDimitrije: 'Cada uno de esos tres números tiene como máximo dos dígitos iguales a $1$ en su representación decimal'.\nDusan: 'Si sumamos $11$ a exactamente uno de ellos, entonces tenemos un cuadrado perfecto de un entero'.\nStefan: 'Cada uno de ellos tiene exactamente un divisor primo menor que $10$'.\nFilip: 'Los tres números están libres de cuadrados'.\nEl profesor encontró la respuesta correcta. ¿Qué números mencionó?

Encuentra todas las soluciones no negativas a la ecuación $2013^x+2014^y=2015^z$