Demuestra que no existen enteros $a$ y $b$ con las condiciones, i) $16a-9b$ es un número primo. ii) $ab$ es un cuadrado perfecto. iii) $a+b$ es también un cuadrado perfecto.

Encuentra todas las soluciones enteras a la ecuación $x^2=y^2(x+y^4+2y^2)$ .

Encuentre todas las ternas de primos $(p,q,r)$ que satisfacen $3p^{4}-5q^{4}-4r^{2}=26$ .

Todas las letras en la palabra $VUQAR$ son diferentes y elegidas del conjunto $\{1,2,3,4,5\}$ . Encuentre todas las soluciones a la ecuación \[\frac{(V+U+Q+A+R)^2}{V-U-Q+A+R}=V^{{{U^Q}^A}^R}.\]

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cuyas diagonales no son perpendiculares y cuyos lados $AB$ y $CD$ no son paralelos. Sea $O$ la intersección de sus diagonales. Denotemos con $H_1$ y $H_2$ los ortocentros de los triángulos $AOB$ y $COD,$ respectivamente. Si $M$ y $N$ son los puntos medios de los segmentos $AB$ y $CD,$ respectivamente. Demuestre que las líneas $H_1H_2$ y $MN$ son paralelas si y solo si $AC=BD.$

Sea $ABC$ un triángulo con ${AB\ne BC}$ ; y sea ${BD}$ la bisectriz interna de $\angle ABC,\ $ , $\left( D\in AC \right)$ . Denotemos por ${M}$ el punto medio del arco ${AC}$ que contiene el punto ${B}$ . El círculo circunscrito del triángulo ${\vartriangle BDM}$ interseca el segmento ${AB}$ en el punto ${K\neq B}$ . Sea ${J}$ la reflexión de ${A}$ con respecto a ${K}$ . Si ${DJ\cap AM=\left\{O\right\}}$ , demuestre que los puntos ${J, B, M, O}$ pertenecen al mismo círculo.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo tal que $AB\not=AC.$ Sea $M$ el punto medio de $BC, H$ el ortocentro de $\triangle ABC$ $,O_1$ el punto medio de $AH$ y $O_2$ el circuncentro de $\triangle BCH$ $.$. Demuestra que $O_1AMO_2$ es un paralelogramo.

Considera un triángulo acutángulo $ABC$ de área $S$ . Sea $CD \perp AB$ ( $D \in AB$ ) , $DM \perp AC$ ( $M \in AC$ ) y $DN \perp BC$ ( $N \in BC$ ) . Denota por $H_1$ y $H_2$ los ortocentros de los triángulos $MNC$ , respectivamente $MND$ . Encuentra el área del cuadrilátero $AH_1BH_2$ en términos de $S$.

Sea ${ABC}$ un triángulo acutángulo con ${AB<AC<BC}$ y sea ${c(O,R)}$ su circuncírculo. Se dibujan los diámetros ${BD}$ y ${CE}$. El círculo ${c_1(A,AE)}$ interseca a ${AC}$ en ${K}$ . El círculo ${{c}_{2}(A,AD)}$ interseca a ${BA}$ en ${L}$ . ( ${A}$ está entre ${B}$ y ${L}$ ) . Demuestra que las líneas ${EK}$ y ${DL}$ se intersecan en el círculo $c$.

Sea ${ABC}$ un triángulo con $m\left( \angle B \right)=m\left( \angle C \right)={{40}^{{}^\circ }}$. La bisectriz de ${\angle{B}}$ interseca a ${AC}$ en el punto ${D}$ . Demuestra que $BD+DA=BC$.