$A=1\cdot4\cdot7\cdots2014$. Encuentra el último dígito diferente de cero de $A$ si se sabe que $A\equiv 1\mod3$.

Para un entero positivo $n$, dos jugadores $A$ y $B$ juegan el siguiente juego: Dado una pila de $s$ piedras, los jugadores se turnan alternativamente con $A$ yendo primero. En cada turno, el jugador puede tomar una piedra, o un número primo de piedras, o un múltiplo positivo de $n$ piedras. El ganador es el que toma la última piedra. Asumiendo que tanto $A$ como $B$ juegan perfectamente, ¿para cuántos valores de $s$ el jugador $A$ no puede ganar?

En un país con $n$ pueblos, todos los vuelos directos son de destinos dobles (ida y vuelta). Hay $r>2014$ rutas entre diferentes pares de pueblos, que no incluyen más de una parada intermedia (la dirección de cada ruta importa). Encuentra el valor mínimo posible de $n$ y el mínimo posible de $r$ para ese valor de $n$.

Hay algunos números reales en la pizarra (al menos dos). En cada paso, elegimos dos de ellos, por ejemplo $a$ y $b$, y luego los reemplazamos con $\frac{ab}{a+b}$. Continuamos hasta que haya un número. Demuestra que el último número no depende de en qué orden elegimos los números para borrar.

Sea $n$ un entero positivo y sean $x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_n$ números reales positivos tales que $x_1+\ldots+x_n=y_1+\ldots+y_n=1$ . Demuestra que: $$|x_1-y_1|+\ldots+|x_n-y_n|\leq 2-\underset{1\leq i\leq n}{min} \;\dfrac{x_i}{y_i}-\underset{1\leq i\leq n}{min} \;\dfrac{y_i}{x_i}$$

Sean $\displaystyle {x, y, z}$ números reales positivos tales que $\displaystyle {xyz = 1}$ . Demuestra la desigualdad: $$\displaystyle{\dfrac{1}{x\left(ay+b\right)}+\dfrac{1}{y\left(az+b\right)}+\dfrac{1}{z\left(ax+b\right)}\geq 3}$$

$a,b,c\in\mathbb{R^+}$ y $a^2+b^2+c^2=48$ . Demuestra que \[a^2\sqrt{2b^3+16}+b^2\sqrt{2c^3+16}+c^2\sqrt{2a^3+16}\le24^2\]

Sean $a,b,c$ números reales positivos. Demuestra que \[\left((3a^2+1)^2+2\left(1+\frac{3}{b}\right)^2\right)\left((3b^2+1)^2+2\left(1+\frac{3}{c}\right)^2\right)\left((3c^2+1)^2+2\left(1+\frac{3}{a}\right)^2\right)\geq 48^3\]

Sean $x,y$ y $z$ números reales no negativos que satisfacen la ecuación $x+y+z=xyz$ . Demuestra que $2(x^2+y^2+z^2)\geq3(x+y+z)$ .

Con las condiciones $a,b,c\in\mathbb{R^+}$ y $a+b+c=1$ , demuestra que $$\frac{7+2b}{1+a}+\frac{7+2c}{1+b}+\frac{7+2a}{1+c}\geq\frac{69}{4}$$