Para números reales positivos $a,b,c$ con $abc=1$ demuestra que $\left(a+\frac{1}{b}\right)^{2}+\left(b+\frac{1}{c}\right)^{2}+\left(c+\frac{1}{a}\right)^{2}\geq 3(a+b+c+1)$

Sean $a, b, c$ números reales positivos tales que $abc = \dfrac {1} {8}$ . Demuestra la desigualdad: $$a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + a ^ 2b ^ 2 + b ^ 2c ^ 2 + c ^ 2a ^ 2 \geq \dfrac {15} {16}$$ ¿Cuándo se cumple la igualdad?

Resolver en números reales positivos: $n+ \lfloor \sqrt{n} \rfloor+\lfloor \sqrt[3]{n} \rfloor=2014$

Sea $\mathbb{Q}$ el conjunto de los números racionales. Una función $f: \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}$ se llama aquaesuliana si se cumple la siguiente propiedad: para todo $x,y \in \mathbb{Q}$ , \[ f(x+f(y)) = f(x) + y \quad \text{o} \quad f(f(x)+y) = x + f(y). \] Demuestre que existe un entero $c$ tal que para cualquier función aquaesuliana $f$ hay a lo sumo $c$ números racionales diferentes de la forma $f(r) + f(-r)$ para algún número racional $r$ , y encuentre el valor posible más pequeño de $c$ .

Turbo el caracol juega un juego en un tablero con $2024$ filas y $2023$ columnas. Hay monstruos ocultos en $2022$ de las celdas. Inicialmente, Turbo no sabe dónde están los monstruos, pero sabe que hay exactamente un monstruo en cada fila excepto la primera fila y la última fila, y que cada columna contiene a lo sumo un monstruo. Turbo realiza una serie de intentos para ir desde la primera fila hasta la última fila. En cada intento, elige comenzar en cualquier celda de la primera fila, luego se mueve repetidamente a una celda adyacente que comparte un lado común. (Se le permite regresar a una celda visitada anteriormente). Si llega a una celda con un monstruo, su intento termina y es transportado de regreso a la primera fila para comenzar un nuevo intento. Los monstruos no se mueven, y Turbo recuerda si cada celda que ha visitado contiene un monstruo o no. Si llega a alguna celda en la última fila, su intento termina y el juego termina. Determine el valor mínimo de $n$ para el cual Turbo tiene una estrategia que garantiza llegar a la última fila en el $n$ - ésimo intento o antes, independientemente de la ubicación de los monstruos.

Sea $ABC$ un triángulo con $AB < AC < BC$ . Sean $I$ e $\omega$ el incentro y el incírculo del triángulo $ABC$ , respectivamente. Sea $X$ el punto en la línea $BC$ diferente de $C$ tal que la línea que pasa por $X$ paralela a $AC$ es tangente a $\omega$ . Similarmente, sea $Y$ el punto en la línea $BC$ diferente de $B$ tal que la línea que pasa por $Y$ paralela a $AB$ es tangente a $\omega$ . Sea $AI$ interseca la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ en $P \ne A$ . Sean $K$ y $L$ los puntos medios de $AC$ y $AB$ , respectivamente. Demuestre que $\angle KIL + \angle YPX = 180^{\circ}$ .

Sea $a_1, a_2, a_3, \dots$ una secuencia infinita de enteros positivos, y sea $N$ un entero positivo. Suponga que, para cada $n > N$ , $a_n$ es igual al número de veces que $a_{n-1}$ aparece en la lista $a_1, a_2, \dots, a_{n-1}$ . Demuestre que al menos una de las secuencias $a_1, a_3, a_5, \dots$ y $a_2, a_4, a_6, \dots$ es eventualmente periódica. (Una secuencia infinita $b_1, b_2, b_3, \dots$ es eventualmente periódica si existen enteros positivos $p$ y $M$ tales que $b_{m+p} = b_m$ para todo $m \ge M$ . )

Determinar todos los pares $(a,b)$ de enteros positivos para los cuales existen enteros positivos $g$ y $N$ tales que $$\gcd (a^n+b,b^n+a)=g$$ se cumple para todos los enteros $n\geqslant N.$ (Note que $\gcd(x, y)$ denota el máximo común divisor de los enteros $x$ e $y.$ )

Determinar todos los números reales $\alpha$ tales que, para cada entero positivo $n,$ el entero $$\lfloor\alpha\rfloor +\lfloor 2\alpha\rfloor +\cdots +\lfloor n\alpha\rfloor$$ es un múltiplo de $n.$ (Note que $\lfloor z\rfloor$ denota el mayor entero menor o igual que $z.$ Por ejemplo, $\lfloor -\pi\rfloor =-4$ y $\lfloor 2\rfloor= \lfloor 2.9\rfloor =2.$ )

Una secuencia $a_1, a_2, a_3, \ldots$ de enteros positivos satisface $a_1 > 5$ y $a_{n+1} = 5 + 6 + \cdots + a_n$ para todo entero positivo $n$ . Determine todos los números primos $p$ tales que, independientemente del valor de $a_1$ , esta secuencia debe contener un múltiplo de $p$ .