Un cuadrilátero cíclico $ABXC$ tiene circuncentro $O$ . Sea $D$ un punto en la línea $BX$ tal que $AD = BD$ . Sea $E$ un punto en la línea $CX$ tal que $AE = CE$ . Demuestra que el circuncentro del triángulo $\triangle DEX$ se encuentra en la bisectriz perpendicular de $OA$ .

Se colocan guijarros en las casillas de un tablero de $2021\times 2021$ de tal manera que cada casilla contiene como máximo un guijarro. El conjunto de guijarros de una casilla del tablero es la colección de todos los guijarros que están en la misma fila o columna que esta casilla. (Un guijarro pertenece al conjunto de guijarros de la casilla en la que se coloca). ¿Cuál es el menor número posible de guijarros en el tablero si no hay dos casillas que tengan el mismo conjunto de guijarros?

(a) Demuestra que para todo $a, b, c, d \in \mathbb{R}$ con $a + b + c + d = 0$ , \[ \max(a, b) + \max(a, c) + \max(a, d) + \max(b, c) + \max(b, d) + \max(c, d) \geqslant 0. \] (b) Encuentra el entero no negativo más grande $k$ tal que es posible reemplazar $k$ de los seis máximos en esta desigualdad por mínimos de tal manera que la desigualdad aún se cumpla para todo $a, b, c, d \in \mathbb{R}$ con $a + b + c + d = 0$ .

En la pizarra están escritos $100$ números reales positivos mutuamente diferentes, tales que para cualesquiera tres números diferentes $a, b, c$, $a^2 + bc$ es un entero. Demuestra que para cualesquiera dos números $x, y$ de la pizarra, el número $\frac{x}{y}$ es racional.

En cada cuadrado de la tabla cuadrada de $100\times 100$, escribe $1, 2$ o $3$. Considera todas las subtablas $m \times n$, donde $m = 2$ y $n = 2$. Una subtabla se llamará equilibrada si tiene en sus cajas de esquina de cuatro cajas de números idénticos. Para un número $k$ tan grande, demuestra que siempre podemos encontrar $k$ subtablas equilibradas, de las cuales ninguna se superpone, es decir, no tienen una caja común.

Bolek dibuja un trapecio $ABCD$ ( $AB // CD$ ) en la pizarra, con su línea media $EF$. El punto de intersección de su diagonal $AC, BD$ se denota por $P$, y su proyección rectangular en la línea $AB$ se denota por $Q$. Lolek, queriendo molestar a Bolek, borró todo de la pizarra excepto los segmentos $EF$ y $PQ$. Cuando Bolek lo vio, quiso completar el dibujo y dibujar el trapecio original, pero no sabía cómo hacerlo. ¿Puedes ayudar a Bolek?

¿Cuántos números de $8$ dígitos son $*2*0*1*7$, donde cuatro números desconocidos son reemplazados por estrellas, que son divisibles por $7$?

Decide si existe un hexágono convexo con todos los lados mayores que $1$ y todas sus nueve diagonales son menores que $2$ en longitud.

Decide si existen primos $p, q, r$ tales que $(p^2 + p) (q^2 + q) (r^2 + r)$ es un cuadrado de un entero.

Cada campo de la tabla $(mn + 1) \times (mn + 1)$ contiene un número real del intervalo $[0, 1]$. La suma de los números en cada sección cuadrada de la tabla con dimensiones $n x n$ es igual a $n$. Determina qué tan grande puede ser la suma de todos los números en la tabla.