Dado un triángulo rectángulo $ABC$ con perímetro $2$, con $\angle B=90^o$. El punto $S$ es el centro del excírculo al lado $AB$ del triángulo y $H$ es la intersección de las alturas del triángulo $ABS$. Determina la longitud posible más pequeña del segmento $HS$.

Demuestra que para todos los números reales $x, y$ se cumple $(x^2 + 1)(y^2 + 1) \ge 2(xy - 1)(x + y)$. ¿Para qué enteros $x, y$ se cumple la igualdad?

Dado un triángulo $ABC$, con $| AB | + | AC | = 3 \cdot | BC |$. Denotemos $D, E$ también puntos tales que $BCDA$ y $CBEA$ son paralelogramos. En los lados $AC$ y $AB$, se seleccionan $F$ y $G$ respectivamente de modo que $| AF | = | AG | = | BC |$. Demuestra que las líneas $DF$ y $EG$ se intersecan en el segmento de línea $BC$.

Encuentra el entero más grande $n \ge 3$ para el cual existe un número de $n$ dígitos $\overline{a_1a_2a_3...a_n}$ con dígitos no nulos $a_1, a_2$ y $a_n$, que es divisible por $\overline{a_2a_3...a_n}$.

Sea $d(n)$ la suma de los divisores enteros positivos del número $n$ y $\phi(n)$ la cantidad de enteros en el intervalo $[0,n]$ tales que estos enteros son coprimos con $n$ . Por ejemplo $d(6)=12$ y $\phi(7)=6$ . Determinar si el conjunto de los enteros $n$ tales que $d(n)\cdot \phi (n)$ es un cuadrado perfecto, es un conjunto finito o infinito.

Una forma es la unión de rectángulos cuadrados cuyas bases son segmentos unitarios consecutivos en una línea horizontal que deja todos los rectángulos en el mismo lado, y cuyas alturas $m_1, ... , m_n$ satisfacen $m_1\ge ... \ge m_n$ . Un ángulo en una forma consiste en una caja $v$ y de todas las cajas a la derecha de $v$ y todas las cajas arriba de $v$ . El tamaño de una forma de un ángulo es el número de cajas que contiene. Hallar el número máximo de ángulos de tamaño $11$ en una forma de tamaño $400$ .

Consideramos $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ dos círculos que se intersecan en los puntos $P$ y $Q$ . Sean $A , B$ y $C$ puntos en el círculo $\Gamma_1$ y $D , E$ y $F$ puntos en el círculo $\Gamma_2$ de modo que las líneas $A E$ y $B D$ se intersecan en $P$ y las líneas $A F$ y $C D$ se intersecan en $Q$ . Denotamos $M$ y $N$ las intersecciones de las líneas $A B$ y $D E$ y de las líneas $A C$ y $D F$ , respectivamente. Demostrar que $A M D N$ es un paralelogramo.

Sea $M$ un mapa hecho de varias ciudades unidas entre sí por vuelos. Decimos que hay una ruta entre dos ciudades si hay un vuelo directo que une estas dos ciudades. Para cada ciudad de $M$ denotamos por $M_a$ el mapa formado por las ciudades que tienen una ruta hacia y rutas que unen estas ciudades entre sí (para no formar parte de $M_a$). Las ciudades de $M_a$ se dividen en dos conjuntos de modo que el número de rutas que unen ciudades de diferentes conjuntos sea máximo; llamamos a este número el corte de $M_a$ . Suponga que para cada corte de $M_a$ , es estrictamente menor que dos tercios del número de rutas de $M_a$ . Demostrar que para cualquier coloración de las rutas de $M$ con dos colores hay tres ciudades de $M$ unidas por tres rutas del mismo color.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y $H$ su ortocentro. Sean $E$ y $F$ las intersecciones de las líneas $BH$ y $CH$ con $AC$ y $AB$ respectivamente, y sea $D$ la intersección de las líneas $EF$ y $BC$ . Sea $\Gamma_1$ la circunferencia circunscrita a $AEF$ , y $\Gamma_2$ la circunferencia circunscrita a $BHC$ . La línea $AD$ interseca a $\Gamma_1$ en el punto $I \neq A$ . Sea $J$ el pie de la bisectriz interna de $\angle{BHC}$ y $M$ el punto medio del arco $\stackrel{\frown}{BC}$ de $\Gamma_2$ que contiene el punto $H$ . La línea $MJ$ interseca a $\Gamma_2$ en el punto $N \neq M$ . Demostrar que los triángulos $EIF$ y $CNB$ son similares.

Dado un entero positivo $n$ , una operación consiste en reemplazar $n$ con $2n-1$ , $3n-2$ o $5n-4$ . Se dice que un número $b$ es un seguidor de un número $a$ si $b$ puede obtenerse de $a$ usando esta operación múltiples veces. Hallar todos los enteros positivos $a < 2011$ que tienen un seguidor común con $2011$ .